【數值分析】02-緒論-誤差

參考資料：
書籍：數值分析簡明教程/王兵團，張作泉，張平福編著. --北京：清華大學出版社；北京交通大學出版社，2012.8
視頻：學堂在線APP中北京交通大學“數值分析I”

前期回顧

【數值分析】01-緒論-重要性、計算機中的數系與運算特點

重要性：

減少計算機科學計算式的錯誤；
使計算機計算的結果更可信；
計算機解決實際問題四個步驟：數學建模-》選擇數值方法-》編寫程序-》上機計算

機器數系及運算特點：

機器數系是有限實數集合；
表達式： $f(β,t,L,U)={βc×0.a1a2a3?at∣ai∈{0,1,?,β?1},L≤c≤U}f(\beta,t,L,U)=\{\beta^c\times 0.a_1a_2a_3\cdots a_t|a_i\in\{0,1,\cdots,\beta-1\},L\leq c \leq U\}$
計算機對數的接收：首先判斷給定實數是否屬于給定機器數系，如果屬于，則原樣接收；不屬于但給定實數是否在最小值與最大值之間，用接近給定實數 $f l (x)$ 表示并記錄x
計算處理：加減：先對階、運算、舍入；乘除：運算、舍入

科學計算的實質是用近似的數據，去獲得可用的結果，強調計算結果的可用性，而不是準確性。
科學計算保證計算結果可用性的依據是對計算誤差控制。那本期咱們就來學習誤差。

1.3 誤差

所謂誤差就是準確值與近似值的差異。

1.3.1 誤差的來源

主要來源有4個方面：

模型誤差（也稱描述誤差）

建立數據模型時引入的誤差，不是數值分析可以解決的；
觀測誤差（也稱數據誤差）

采集元素數據時引入的誤差，也不是數值分析能解決的問題，例如：儀器精度等
截斷誤差（也稱方法誤差）

對計算的數學公式做簡化處理后所產生的誤差。由于科學結算經常要把一些數學函數變成計算機易于處理的形式，總會產生截斷誤差，是數值分析主要研究的誤差；
舍入誤差（也稱計算誤差）

計算機因數系有限，在接收和運算數據時引起的誤差，也是數值分析關注的內容；

1.3.2 誤差的定義

絕對誤差（簡稱誤差）定義： 設 $x$ 是準確值， $x^*$ 是 $x$ 的一個近似值，稱差 $x^*-x$ 為近似值 $x^*$ 的絕對誤差，簡稱誤差，記為 $e^*或e(x^*)$ ，即 $e(x^*)=x^*-x$ 。

由于準確值 $x$ 通常是未知的，故誤差 $e^*$ 一般是計算不出來的，為此引入誤差限對誤差進行估計。

誤差限定義：滿足 $∣e?∣=∣x??x∣≤??|e^*|=|x*-x|\leq \epsilon^*$ 的正數 $??\epsilon^*$ 為近似值 $x^*$ 的誤差限。

誤差限一般可以求出，例如用具有毫米刻度的皮尺去測量某個物件的長度，測得的數據與物件的實際長度不會超過半個毫米，這半個毫米就是物件長度的誤差限。

誤差限給出了準確值 $x$ 所在范圍為 $x????≤x≤x?+??x^*-\epsilon^*\leq x\leq x^*+\epsilon^*$ ，該范圍常用 $x=x?±??x=x^*\pm \epsilon^*$

通常誤差限一般取為獲得該近似數儀器精度的半個單位，顯然誤差限 $??\epsilon^*$ 越小，近似值越準確。
絕對誤差不能反映近似值 $x^*$ 的近似程度，為描述近似數的近似程度，需要引入相對誤差：

相對誤差定義：設 $x$ 是準確值， $x^*$ 是 $x$ 的一個近似值，稱 $e?x=x??xx\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$ 為近似值 $x^*$ 的相對誤差，記為 $e_r^*或e_r(x^*)$ ，即 $er(x?)=e?x=x??xxe_r(x^*)=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$

相對誤差的絕對值越小，近似程度越高。
由于準確值 $x$ 通常是未知的，故相對誤差一般是計算不出來的，為此引入相對誤差限對相對誤差進行估計。

稱滿足 $∣er(x?)∣=∣x??xx∣≤?r?|e_r(x^*)|=|\frac{x^*-x}{x}|\leq \epsilon_r^*$ 為正數 $?r?\epsilon_r^*$ 為近似數 $x^*$ 的相對誤差限。

使用中常用絕對誤差限來估計，為方便估計相對誤差限制，實用中常用 $e?x?=x??xx?\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}$ 進行誤差限計算。

1.3.3 數值計算的誤差

帶有誤差的數經過四則運算后誤差的變化有如下估算關系：

定理1-1 假設 $x^*和y^*$ 分別是準確值 $x 和 y$ 的一個近似值，則有：
（1）四則運算的絕對誤差估計： $e(x?±y?)=e(x?)±e(y?)e(x?×y?)≈y?e(x?)+x?e(y?)e(x?y?)≈y?e(x?)?x?e(y?)(y?)2e(x^*\pm y^*)=e(x^*)\pm e(y^*)\\ \space \\ e(x^*\times y^*)\approx y^*e(x^*)+x^*e(y*)\\ \space \\ e(\frac{x^*}{y^*})\approx \frac{y^*e(x^*)-x^*e(y^*)}{(y^*)^2}$
（2）四則運算的相對誤差估計： $er(x?±y?)≈x?er(x?)±y?er(y?)x?±y?er(x?×y?)≈er(x?)+er(y?)e(x?y?)≈er(x?)?er(y?)e_r(x^*\pm y^*)\approx\frac{x^*e_r(x^*) \pm y^*e_r(y^*)}{x^*\pm y^*}\\ \space \\ e_r(x^*\times y^*)\approx e_r(x^*)+e_r(y*)\\ \space \\ e(\frac{x^*}{y^*})\approx e_r(x^*)-e_r(y^*)$

近似數 $x$ 的絕對誤差和相對誤差與微分的關系： $絕對誤差與微分：dx=e(x^*)\\ 相對誤差與微分：d\ln x=e_r(x^*)$

【例1-2】考查函數 $y=x^n$ 的相對誤差與自變量x的相對誤差關系。

解： $兩邊同時去對數得：ln?y=nln?x?dln?y=ndln?x由相對誤差與微分關系式：dln?x=er(x?)故：er((x?)n)=ner(x?)由此可知函數xn的相對誤差為自變量x的相對誤差的n倍兩邊同時去對數得：\\ \ln y=n\ln x\Longrightarrow d \ln y=nd\ln x \\ 由相對誤差與微分關系式：d\ln x=e_r(x^*)\\ 故：e_r((x^*)^n)=ne_r(x^*)\\ 由此可知函數x^n的相對誤差為自變量x的相對誤差的n倍$ 。

處理一般函數計算的誤差問題常用Taylor展開式進行估計：

定理1-2 設多元函數 $u=f(x1,x2,?,xn)u=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，向量自變量 $(x1,x2,?,xn)(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的近似值為 $(x1?,x2?,?,xn?)(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)$ ，則有多元函數 $f(x1,x2,?,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的誤差估計：
（1） $e(f(x1?,x2?,?,xn?))≈∑i=1n?f(x1?,x2?,?,xn?)?xie(xi?)e(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}e(x_i^*)$
（2） $?(f(x1?,x2?,?,xn?))≈∑i=1n∣?f(x1?,x2?,?,xn?)?xi∣?(xi?)\epsilon(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}|\epsilon(x_i^*)$
（3） $?r(f(x1?,x2?,?,xn?))≈∑i=1n∣?f(x1?,x2?,?,xn?)?xi∣?(xi?)∣f(x1?,x2?,?,xn?)∣≈?(f(x1?,x2?,?,xn?))∣f(x1?,x2?,?,xn?)∣\epsilon_r(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}|\frac{\epsilon(x_i^*)}{|f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)|}\approx \frac{\epsilon(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))}{{|f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)|}}$

【例1-3】 設有一長方體水池，測得其長、寬、深分別為 $50m±0.01m,25m±0.01m,20m±0.01m50m\pm 0.01m,25m\pm 0.01m,20m\pm 0.01m$ ，試按所給數據求出該水池的容積，并給出絕對誤差限和相對誤差限。

**解：**令 $l, w, h, v$ 分別代表長方體的長、寬、深、容積，由長方體體積公式可得： $v = v (l, w, h) = lw h$
由題意可得長、寬、深的近似值和誤差限如下： $近似值：l?=50m,w?=25m,h?=20m誤差限：?(l?)=?(w?)=?(h?)=0.01m近似值：l^*=50m,w^*=25m,h^*=20m \\ 誤差限：\epsilon(l^*)=\epsilon(w^*)=\epsilon(h^*)=0.01m$
按所給數據求出該水池的容積為： $v(l?,w?,h?)=l?w?h?=50×25×20=2500m3v(l^*,w^*,h^*)=l^*w^*h^*=50\times 25 \times 20=2500m^3$
依據多元函數絕對誤差限制公式可得： $?(v(l?,w?,h?))≈?v??l?(l?)+?v??w?(w?)+?v??h?(h?)≈w?h??(l?)+l?h??(w?)+w?l??(h?)≈25×20×0.01+50×25×0.01+50×20×0.01≈27.50m3\epsilon(v(l^*,w^*,h^*))\approx \frac{\partial v*}{\partial l}\epsilon(l^*)+ \frac{\partial v*}{\partial w}\epsilon(w^*)+ \frac{\partial v*}{\partial h}\epsilon(h^*)\\ \approx w^*h^*\epsilon(l^*)+l^*h^*\epsilon(w^*)+w^*l^*\epsilon(h^*)\\ \approx 25\times20\times 0.01+50\times 25 \times 0.01+50\times 20 \times 0.01\\ \approx27.50m^3$
依據多元函數相對誤差限制公式可得： $?r(v?)≈?(v?)v?=27.50/2500=0.11%\epsilon_r(v^*)\approx \frac{\epsilon(v*)}{v^*}=27.50/2500=0.11\%$
故絕對容積的誤差限和相對誤差限分別為27.50立方米、 $0.11%0.11\%$

1.3.4 計算機的舍入誤差

設計算機的數系為 $f(β,t,L,U)f(\beta,t,L,U)$ ,m和M是其中絕對值最小和最大的正數，某數 $x=±βc×0.a1a2?,a1≠0滿足m<∣x∣<M,x?f(β,t,L,U)x=\pm \beta^c\times 0.a_1a_2\cdots,a_1\neq 0滿足m\lt |x| \lt M,x\notin f(\beta,t,L,U)$ ，則計算機舍入處理后以數 $f l (x)$ 接收，則

$fl(x)=±βc×a￣a￣={0.a1a2?at,0≤at+1<β20.a1a2?at+β?t,at+1≥β2}fl(x)=\pm \beta^c\times \overline{a}\\ \overline{a}= \left \{ \begin{matrix} 0.a_1a_2\cdots a_t,0\leq a_{t+1}\lt \frac{\beta}{2} \\ 0.a_1a_2\cdots a_t+\beta^{-t},a_{t+1}\ge \frac{\beta}{2} \end{matrix} \right \}$

因此計算機對 $x$ 的舍入絕對誤差和舍入相對誤差有如下估計：

(1) $∣e(fl(x))∣=∣x?fl(x)∣≤0.5×βc?t|e(fl(x))|=|x-fl(x)|\leq 0.5 \times \beta^{c-t}$
(2) $∣er(fl(x))∣=∣x?fl(x)∣∣x∣≤0.5×β1?t|e_r(fl(x))|=\frac{|x-fl(x)|}{|x|}\leq 0.5 \times \beta^{1-t}$