本文涉及知識點

C++貪心
位運算、狀態壓縮、枚舉子集匯總 線性基

P4301 [CQOI2013] 新Nim游戲

題目描述

傳統的 Nim 游戲是這樣的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴數量可以不同）。兩個游戲者輪流操作，每次可以選一個火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同時從超過一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戲者勝利。

本題的游戲稍微有些不同：在第一個回合中，雙方可以直接拿走若干個整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。從第二個回合（又輪到第一個游戲者）開始，規則和 Nim 游戲一樣。

如果你先拿，怎樣才能保證獲勝？如果可以獲勝的話，還要讓第一回合拿的火柴總數盡量小。

輸入格式

第一行為整數 $k$，即火柴堆數。

第二行包含 $k$ 個整數 $a_i$，即各堆的火柴個數。

輸出格式

輸出第一回合拿的火柴數目的最小值。如果不能保證取勝，輸出 $?1$。

輸入輸出樣例 #1

輸入 #1

6
5 5 6 6 5 5

輸出 #1

21

說明/提示

數據規模與約定

對于全部的測試點，保證 $1\le k\le 100$，$1\le a_i\le 10^9$。

線性基

原版游戲的勝負

性質一：如果操作前，所有數異或和為0，且至少有一堆石子，則一定能讓異或和變成非0，且只能變成非0。
性質二;如果操作前，所有數異或和為x，則一定能讓異或和變成0。$x\ne 0$令x的最高位為i，則$x=2^i+y,0\le y<2^i$一定存在數has$==2^i+z,z\ge 0$,令新值為u，則異或和為$y\oplus z\oplus u==0，即u=y\oplus z$
$y\oplus z\le y+z<2^i+z$,即$u<has$，has減少has-u。
性質一：如果當前數字異或為0，則一定不是一堆，當前回合當前方贏不了。
結論一：初始異或和為0，先手方必敗。先手方操作操作后異或和必讀非0，后手方最優解變成非0。數字不斷變小，一定在后手方那變成0.
結論二：如果初始異或和不為0，按性質二操作，后手方必敗。

原理

“你”必勝，留下任意一堆。如何讓“你”第一回合拿的盡快能的少？
如果若干數字能異或成0，必須取取走一個，否則后手方只保留這幾個。
這若干個數，取走那個都后繼狀態的影響都一樣，故貪心的取走最小的數。

實現

線性基記錄所有保留的石頭。
將數按降序排序，通過x枚舉，如果線性基的結果包括x，必須取走。否則保留。

代碼

核心代碼

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格換行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格換行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出錯			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<class T = long long, int BITCNT = 63 >
class CLinearBasis {
public:CLinearBasis() :m_bit(BITCNT, -1) {	}void Addd(T x) {for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (((T)1 << i) & x) {if (-1 == m_bit[i]) {m_bit[i] = x;return;}else {x ^= m_bit[i];}}}};T Max() {T ret = 0;for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (-1 == m_bit[i]) { continue; }if (((T)1 << i) & ret) { continue; }ret ^= m_bit[i];}return ret;}bool Can(T x) const {for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (((T)1 << i) & x) {if (-1 == m_bit[i]) { return false; }x ^= m_bit[i];}}return true;};
protected:vector<T> m_bit;
};class Solution {public:long long Ans(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end(),greater<>());CLinearBasis<> lb;long  ans = 0;for (const auto& i:nums) {if (lb.Can(i)) { ans += i; continue; }lb.Addd(i);					}return ans;};};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);		auto nums = Read<int>();
#ifdef _DEBUG//printf("N=%d", N);Out(nums, ",nums=");//Out(B, ",B=");//Out(ope, ",ope=");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(nums);cout << res << "\n";return 0;
}

單元測試

vector<pair<long long, int>> im;TEST_METHOD(TestMethod1){vector<int> nums = { 5,5,6,6,5,5 };auto res = Solution().Ans(nums);AssertEx(21LL, res);}

擴展閱讀

我想對大家說的話
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測試環境

操作系統：win7 開發環境： VS2019 C++17
或者 操作系統：win10 開發環境： VS2022 C++17
如無特殊說明，本算法用**C++**實現。