以下是關于兩階段最小二乘法（2SLS）與工具變量（IV）模型關系的系統解析，結合計量經濟學理論與論文上下文進行說明：

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一、核心關系：2SLS是IV模型的實現方法

1. IV模型：解決內生性的理論框架

• 目標：估計存在內生性問題的回歸模型 $y_i=x_i^{\prime }\beta +u_i$（$\text{cov}(x_i,u_i)\ne 0$）。
• 工具變量要求：
  • 相關性：$\text{cov}(z_i,x_i)\ne 0$
  • 外生性：$\text{cov}(z_i,u_i)=0$
• 理論解：IV估計量 ${\hat{\beta }}_{IV}=(Z^{\prime }X{)}^{?1}{Z}^{\prime }y$（僅適用于 $d_z=d_{\beta }$ 的恰好識別場景）。

2. 2SLS：IV模型的普適性算法

• 作用：將IV估計推廣到 $d_z>d_{\beta }$（過度識別）場景。
• 本質：通過兩階段回歸數值等價于IV估計的廣義形式：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }X{]}^{?1}{X}^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }y$$
• 關鍵結論：
  2SLS是IV模型的估計方法，當工具變量數=參數數（$d_z=d_{\beta }$）時，2SLS退化為標準IV估計。

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二、2SLS的兩階段本質

1. 第一階段：凈化內生變量

• 目標：分離 $x_i$ 中與工具變量 $z_i$ 相關的部分（外生成分）。
• 操作：
  $$\text{回歸：}{x}_i=z_i^{\prime }\delta +v_i?{\hat{x}}_i=z_i^{\prime }\hat{\delta }$$
• 數學意義：${\hat{x}}_i$ 是 $x_i$ 在工具變量空間上的投影（$\hat{X}=Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }X$）。

2. 第二階段：替代回歸

• 目標：用“凈化”后的 ${\hat{x}}_i$ 替代原始內生變量 $x_i$。
• 操作：
  $$\text{回歸：}{y}_i={\hat{x}}_i^{\prime }\beta +{\epsilon }_i?{\hat{\beta }}_{2SLS}=({\hat{X}}^{\prime }\hat{X}{)}^{?1}{\hat{X}}^{\prime }y$$
• 直觀理解：
  通過工具變量 $z_i$ 提取 $x_i$ 的外生變異，阻斷內生性傳遞路徑。

示例（教育回報率估計）：

• 第一階段：用出生季度（$z_i$）預測受教育年限（$x_i$）
• 第二階段：用預測的受教育年限（${\hat{x}}_i$）估計工資方程

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三、2SLS與IV模型的數學等價性

1. 恰好識別場景（$d_z=d_{\beta }$）

• 2SLS第二階段：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=({\hat{X}}^{\prime }\hat{X}{)}^{?1}{\hat{X}}^{\prime }y$$
• 代入 $\hat{X}=Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }X$：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }X{]}^{?1}{X}^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }y$$
• 標準IV估計量：
  $${\hat{\beta }}_{IV}=(Z^{\prime }X{)}^{?1}{Z}^{\prime }y\text{（當?}{d}_z=d_{\beta }\text{?時等價）}$$

2. 過度識別場景（$d_z>d_{\beta }$）

• 2SLS優勢：自動處理多余工具變量，仍可計算唯一解。
• IV模型擴展：需結合GMM框架最小化加權矩條件（如論文中的SGMM）。

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四、論文中的技術定位

1. 2SLS作為基準方法

• 對比角色：論文以離線2SLS為基準，凸顯SGMM的在線計算優勢（見表1-2）。
• 局限場景：
  • 2SLS無法直接處理流數據（需全樣本存儲）
  • 2SLS在過度識別時統計效率非最優（未使用GMM加權）

2. SGMM對2SLS的改進

維度	2SLS	SGMM（本文）
數據模式	批處理（離線）	流數據（在線）
計算復雜度	$O(n{d}_z^2)$（矩陣求逆）	$O(d_z^2)$ 每樣本（增量更新）
過度識別	直接可用但非最優	動態優化權重矩陣 $W_i$
理論性質	一致但漸近方差非最小	漸近等價于最優GMM

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五、關鍵概念辨析

術語	定義	與2SLS的關系
工具變量（IV）	滿足相關性、外生性的變量 $z_i$	2SLS的實現基礎
IV模型	結構方程 $y_i=x_i^{\prime }\beta +u_i$ + 矩條件 $\mathbb{E}[u_i{z}_i]=0$	2SLS估計的對象
2SLS	通過兩階段回歸求解IV模型的算法	IV模型的估計器
GMM	最小化加權矩條件 ${\min }_{\beta }{g}_n(\beta {)}^{\prime }{W}_n{g}_n(\beta )$	2SLS的推廣（含最優加權）

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總結

• IV模型是解決內生性問題的理論框架，2SLS是其最常用的估計算法。
• 2SLS通過兩階段回歸數值實現IV估計：第一階段提取內生變量的外生成分，第二階段進行無偏回歸。
• 論文中，2SLS作為離線基準，而SGMM通過隨機近似框架將其擴展至流數據場景，實現高效在線估計。

核心公式回顧：
2SLS估計量：
$${\hat{\beta }}_{2SLS}=\underset{\text{工具投影}}{\underbrace{[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }X{]}^{?1}}}\underset{\text{工具加權}}{\underbrace{X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{?1}{Z}^{\prime }y}}$$
紅色部分：工具變量對解釋變量的投影
藍色部分：工具變量對因變量的加權