介紹

相機參數矩陣描述了三維世界到二維圖像的投影關系，分為內參矩陣（Intrinsic Matrix）和外參矩陣（Extrinsic Matrix）。以下是詳細解釋和坐標變換公式：

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1. 內參矩陣（Intrinsic Matrix, K）

作用：將相機坐標系下的3D點投影到圖像像素坐標系（2D），描述相機自身的幾何和光學特性。
公式：
$$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& s& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
參數含義：

• (f_x, f_y)：焦距（單位為像素），分別表示x和y方向的縮放因子（受傳感器尺寸和鏡頭焦距影響）。
• (u_0, v_0)：主點坐標（Principal Point），即光軸與圖像平面的交點（通常接近圖像中心）。
• (s)：軸傾斜參數（Skew），描述圖像坐標軸的傾斜程度（現代相機通常為0）。

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2. 外參矩陣（Extrinsic Matrix, [R|t]）

作用：將世界坐標系下的3D點變換到相機坐標系，描述相機在空間中的位置和姿態（旋轉+平移）。
公式：
$$\text{外參}=[R\mid t]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\end{array}\right]$$
參數含義：

• (R)：3×3旋轉矩陣（正交矩陣），表示相機相對于世界坐標系的朝向。
• (t)：3×1平移向量，表示相機光心在世界坐標系中的位置。

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3. 完整投影過程（世界坐標 → 像素坐標）

設一個3D點在世界坐標系中的齊次坐標為 $P_w=[X_w,Y_w,Z_w,1{]}^T$，其投影到像素坐標 $p=[u,v,1{]}^T$ 的流程如下：

步驟1：世界坐標 → 相機坐標（外參變換）

$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]\text{或}{P}_c=R?P_w+t$$

步驟2：相機坐標 → 歸一化圖像坐標（透視投影）

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z_c}\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]?\{\begin{array}{l}x=X_c/Z_c\\ y=Y_c/Z_c\end{array}$$

步驟3：歸一化坐標 → 像素坐標（內參變換）

$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{x}x+sy+u_0\\ f_{y}y+v_0\\ 1\end{array}\right]$$

整合公式（直接投影）

$$Z_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=K?[R\mid t]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$$

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4. 關鍵坐標變換總結

坐標系	符號	轉換關系
世界坐標系 (World)	$P_w$	參考全局坐標
相機坐標系 (Camera)	$P_c$	$P_c=R{P}_w+t$
歸一化坐標系 (Normalized)	$(x,y)$	$x=X_c/Z_c,y=Y_c/Z_c$
像素坐標系 (Pixel)	$(u,v)$	$u=f_{x}x+u_0,v=f_{y}y+v_0$

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5. 畸變參數（補充）

實際相機還需考慮鏡頭畸變（徑向畸變、切向畸變），使用以下模型修正歸一化坐標 $(x,y)$：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{\text{corrected}}=x(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4)+2p_{1}xy+p_2(r^2+2x^2)\\ y_{\text{corrected}}=y(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4)+p_1(r^2+2y^2)+2p_{2}xy\end{array}$$
其中 $r^2=x^2+y^2$，參數 $k_1,k_2$ 為徑向畸變系數，$p_1,p_2$ 為切向畸變系數。

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6. 示例（OpenCV 模型）

在OpenCV中，投影過程定義為：

u = f_x * (X_c / Z_c) + u_0
v = f_y * (Y_c / Z_c) + v_0

外參通過 solvePnP 求解，內參和畸變參數通過 calibrateCamera 標定。

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總結

• 內參矩陣 $K$：相機自身屬性（焦距、主點、傾斜）。
• 外參 $[R\mid t]$：相機在世界中的位置和姿態。
• 投影公式：$Z_{c}p=K[R\mid t]P_w$
• 畸變模型：修正非線性誤差，提升精度。