數論（Number Theory）是數學中研究整數的性質及其相互關系的一個分支，被譽為“數學中的皇后”。它歷史悠久，內容豐富，既包含許多初等、直觀的問題，也涉及高深、抽象的理論。數論的主要內容包括以下幾個方面：

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一、初等數論（Elementary Number Theory）

這是數論中最基礎的部分，主要研究整數的基本性質，通常不依賴高等數學工具（如分析、代數結構等），適合初學者入門。

1. 整除理論

• ?整除?：a | b 表示 a 整除 b，即存在整數 c 使得 b = a × c。
• ?最大公約數（GCD）與最小公倍數（LCM）??
• ?輾轉相除法（歐幾里得算法）??：用于求兩個數的最大公約數。
• ?貝祖定理（Bézout's identity）??：對于任意整數 a 和 b，存在整數 x 和 y，使得 ax + by = gcd(a, b)。

2. 同余理論

• ?同余定義?：a ≡ b (mod m) 表示 a 與 b 除以 m 的余數相同。
• ?同余的基本性質?
• ?模運算?
• ?同余方程?：如線性同余方程 ax ≡ b (mod m)
• ?中國剩余定理（CRT）??：解決一組同余方程的解的存在性與構造方法。

3. 素數與合數

• ?素數（質數）??：大于1且只能被1和自身整除的數。
• ?合數?：不是素數的正整數（大于1）。
• ?素數分布?：如素數有無窮多個（歐幾里得證明）。
• ?素數判定?：如試除法、費馬小定理（用于素性測試，但不是充要條件）、米勒-拉賓測試等（更高級）。
• ?埃拉托斯特尼篩法?：尋找一定范圍內的所有素數。

4. 素數定理（初等介紹）

• 描述素數在自然數中的分布漸近規律（更深入的內容屬于解析數論）。

5. 二次剩余與勒讓德符號

• 研究形如 x2 ≡ a (mod p) 的解的存在性。
• 勒讓德符號用于表示一個數是否為模某個奇素數的二次剩余。

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二、代數數論（Algebraic Number Theory）

這是數論與抽象代數（特別是域論、環論、Galois理論）相結合的產物，研究代數數域及其整數環中的數論問題。

主要內容：

• ?代數整數?：在代數數域中滿足整系數多項式方程的數。
• ?數域與代數數域?：如有理數域的有限擴張。
• ?Dedekind 整環與理想分解?：代數整數環中的唯一分解不一定成立，用理想來彌補。
• ?類域論（Class Field Theory）??：研究阿貝爾擴張與類群之間的關系，屬于高深內容。
• ?Diophantine 方程的代數方法?

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三、解析數論（Analytic Number Theory）

利用數學分析（如微積分、復分析、無窮級數等）的工具來研究數論問題，尤其是素數分布等問題。

主要內容：

• ?素數定理?：π(x) ~ x / ln(x)，即小于等于 x 的素數個數漸近于 x/ln(x)。
• ?黎曼猜想（Riemann Hypothesis）??：關于黎曼ζ函數的非平凡零點分布，是解析數論乃至整個數學中最重要的未解決問題之一。
• ?狄利克雷級數與L函數?
• ?歐拉乘積公式?
• ?切比雪夫函數、梅滕斯函數等?

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四、計算數論（Computational Number Theory） / 算法數論

研究數論問題中的算法設計與計算復雜性，廣泛應用于密碼學等領域。

主要內容：

• ?大整數運算與素性測試?
• ?模運算與快速冪算法?
• ?RSA、ECC等公鑰密碼體制的數論基礎?
• ?離散對數問題?
• ?橢圓曲線上的點運算?
• ?格理論（Lattice Theory）與密碼學中的應用?

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五、丟番圖分析（Diophantine Analysis）

研究整系數多項式方程的整數解或有理數解，屬于更廣義的數論問題。

• ?丟番圖方程?：如費馬大定理（已被懷爾斯證明，n > 2 時 x? + y? = z? 無正整數解）。
• ?佩爾方程（Pell’s Equation）??：x2 – Ny2 = 1，N 是非平方正整數。
• ?勾股數組（畢達哥拉斯三元組）??

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六、加法數論（Additive Number Theory）

研究整數的加法結構，比如表示成一個或多個整數的和的方式。

• ?哥德巴赫猜想?：每個大于2的偶數可表示為兩個素數之和（未解決）。
• ?華林問題?：一個自然數可以表示為若干個k次冪之和的最少數量是多少。
• ?三素數定理（由維諾格拉多夫等人證明，是哥德巴赫猜想的弱化形式）??

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七、模形式與自守形式（高級內容，屬于現代數論）

• 模形式是與高度對稱性相關的復變函數，在數論中有深刻應用，如在證明費馬大定理中起了核心作用。
• 與橢圓曲線、伽羅瓦表示、朗蘭茲綱領密切相關。

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總結：數論的主要分支概覽

分支名稱	主要工具/特點	研究內容舉例
初等數論	整數、整除、同余、素數、模運算	GCD、LCM、同余方程、中國剩余定理、素數判定
代數數論	抽象代數、域論、環論、Galois理論	代數整數、理想、類群、Dedekind環
解析數論	復分析、級數、積分	素數定理、黎曼猜想、ζ函數
計算數論	算法、計算復雜性	素性測試、RSA、離散對數、橢圓曲線密碼學
丟番圖分析	Diophantine方程	費馬大定理、佩爾方程、勾股數
加法數論	整數分解、表示問題	哥德巴赫猜想、華林問題
模形式與自守形式	復分析、對稱性、表示論（高級）	與橢圓曲線、朗蘭茲綱領、費馬大定理相關

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如果你是初學者，建議從初等數論入手，掌握整除、同余、素數、最大公約數、中國剩余定理等內容，這些不僅是數論的基礎，也在計算機科學（特別是密碼學）中有廣泛應用。