某年的6月1日是星期日。那么，同一年的6月30日是星期幾？
星期是7天一個循環。所以說，這一天是星期幾，7天之后同樣也是星期幾。而6月30日是在6月1日的29天之后：29 ÷ 7 = 4 ... 1用29除以7，可以得出余數為1。而6月1日那一天是星期日，那么，6月30日就是星期日的后一天，也就是星期一。
某年的3月，Wendy想制定一個實習計劃，它想知道當年的7月和11月有哪幾天是星期天。但月歷壞了，5月后面的幾頁看不到了。Wendy卻輕松找到了想要的日期，難道Wendy是天才喵？
不是，因為它知道，每一年的3月1日到3月30日，與11月1日到11月30日，在星期上面是完全相同的。同樣，4月1日到4月30日，與7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的（31日除外）?。
這到底是怎么一回事呀？
每一年過了3月之后，在天數上，4月、6月、9月、11月都是30天，而其他的月份都是31天。
把3月到10月的天數相加，得出：31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = 245。
245 ÷ 7= 35，用245除以一周的天數7天，就可以得出，3月1日～3月30日，與11月1日～11月30日，在星期上面是完全相同的。
同樣，把4月到6月的天數相加，得出：30 + 31 + 30 = 91。
91 ÷ 7 = 13，就可以得出，4月1日到4月30日，與7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的。
原來，數字有規律性和周期性。高斯于是提出了“同余式”的理論。
當a除以m所得余數，和b除以m所得余數相同的時候，就將它寫成：a ≡ b（mod m）。稱為整數a，b對模m同余。而上面的這個算式就是同余式。在這里，mod表示整除后取余的意思。同C語言的％運算符的功能是一樣的。
比如3 ≡ 1 （mod 2），27 ≡ 2 （mod 5）。
同余式可以相加。
比如，當除以7的時候，10和17的余數為3，9和16的余數為2：10 ≡ 17（mod 7），9 ≡ 16 （mod 7）。
將10 + 9和17 + 16分別再除以7，得出的余數都是3 + 2 （5）?，也就是說：10 + 9 ≡ 17 + 16 （mod 7）。
不光是相加，相減，或者相乘（乘方）?，同余式依然成立。
同余式和其他的等式一樣，可以進行加法、減法、乘法（乘方）的運算。
求：13的2000次方除以12
13 ≡ 1 （mod12），根據同余式的性質④，能夠得出：13^2000 ≡ 1^2000 ≡ 1 （mod 12）。余數為1。
求：斐波那契數列中是3的倍數的項
如果用通項求：
可能不夠優雅。
不妨根據這個數列的遞推方程式，求出一開始幾項的具體數字，然后將這些數字除以3，得出余數。
我們想要找到整數除法運算當中“余數”的周期和規律。
假設：
a n + 1 = 3 p + k a_{n+1}=3p+k an+1?=3p+k
a n = 3 q + l a_{n}=3q+l an?=3q+l
k和l都是0，1，2三個數字當中的某個整數。
an+1除以3的余數為k，而k除以3的余數也為k，可以得出： a n + 1 ≡ k （ m o d 3 ） a_{n+1} ≡ k （mod3） an+1?≡k（mod3）。
同樣，an除以3的余數為l，而l除以3的余數也為l，可以得出： a n ≡ l （ m o d 3 ） a_{n} ≡ l （mod3） an?≡l（mod3）。
根據遞推方程式： a n + 2 = a n + 1 + a n a_{n+2} = a_{n+1} + a_n an+2?=an+1?+an?
根據同余式的性質①，得出： a n + 2 ≡ a n + 1 + a n ≡ k + l （ m o d 3 ） a_{n+2} ≡ a_{n+1} + a_n ≡ k+l （mod 3） an+2?≡an+1?+an?≡k+l（mod3）。
也就是說，想要求出an+2除以3的余數，就必須先求出an+1和an除以3的余數，然后將兩個余數相加。
通過先前的表格，我們可以看出，如果連續2個余數和前面的某2個余數相同的話，那么，此后的余數都按照這個形式循環下去。
比如，第9項和第10項的余數與第1項和第2項的余數相同，所以當這個數列除以3的時候，所得出的余數的周期為8。
一開始的8項當中，a4和a8能夠被3整除。
所以，n的條件為，n是4的倍數：4，8，12，16，20，24，28，32，···。
線性同余法獲取偽隨機數
在C語言中，只要調用rand()函數，就可以得到隨機數。不過，由于借助公式產生的隨機數具有一定的規律性，因此并不是真正的隨機數，通常稱為偽隨機數。
線性同余法：如果把Ri作為當前隨機數的話，那么下一個出現的隨機數Ri + 1就是， R i + 1 = ( a × R i + b ) m o d c R_{i+1}=(a × R_i+b) mod c Ri+1?=(a×Ri?+b)modc
對a、b、c各參數設定合適的整數后，可以從該公式獲得的隨機數的范圍就是0到c（不包含）?。例如，把a設定為5，b設定為3，c設定為8，Ri的初始值定為了1。
這些隨機數確實很像是無規則隨機出現的數值。不過，產生8次隨機數后，下8次產生的隨機數就和前面的數值相同了。這種周期性是偽隨機數的特征，也是為什么不是真隨機數的原因。
srand(time(NULL));可以提前設定Ri、a、b、c的數值。srand()函數中的參數time(NULL)，是用來獲取當前時間的參數。由于每次啟動程序時的當前時間都是變化的，因此Ri、a、b、c的數值也會隨之發生變化。Ri、a、b、c的數值就稱為隨機數的種子。
而重復調用rand()函數的話，因為Ri、a、b、c的數值都有默認值，因此每次都會生成以相同方式出現的隨機數。
參考
[1] 寫給全人類的數學魔法書
[2] 程序是怎樣跑起來的
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