第 14 屆藍橋杯 C++ 青少組省賽中 / 高級組真題解析

一、選擇題
第 1 題

題目：C++ 中，bool 類型的變量占用字節數為（ ）。


A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
解析：
C++ 標準規定，bool類型至少占用 1 字節（1 byte），用于存儲true（非 0）或false（0）。盡管邏輯上只需 1 位，但內存分配以字節為最小單位，因此選 A。
考點：C++ 基礎數據類型的內存占用。
重點：掌握bool、char、int、double等類型的字節數（如char占 1 字節，int通常占 4 字節）。
教學方案：通過對比表格講解數據類型，強調bool的特殊性（1 字節而非 1 位），結合內存對齊原則理解。

第 2 題

題目：以下關于 C++ 結構體的說法，正確的是（ ）。
A. 結構體中只能包含成員變量，不能包含成員函數
B. 結構體不能從另一個結構體繼承
C. 結構體里面可以包含靜態成員變量
D. 結構體里面不能包含構造函數
答案：C
解析：

  • A 錯誤：結構體可包含成員函數（與類的區別僅在于默認訪問權限為public）。
  • B 錯誤：結構體支持繼承（語法與類相同，默認public繼承）。
  • C 正確：結構體允許靜態成員變量（屬于類型本身，而非實例）。
  • D 錯誤：結構體可定義構造函數，用于初始化成員。
    考點：結構體與類的特性對比。
    重點：理解結構體的成員類型（變量、函數、靜態成員、構造函數），區分結構體與類的默認訪問權限。
    教學方案：編寫包含成員函數和構造函數的結構體示例，演示繼承語法，對比類與結構體的異同。
第 3 題

題目：設只含根結點的二叉樹高度為 1，共有 62 個結點的完全二叉樹的高度為（ ）。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：C
解析：
完全二叉樹高度h滿足：

  • 前h-1層是滿二叉樹，結點數為2^(h-1)-1；
  • 第h層至少 1 個結點，最多2^(h-1)個結點。
    計算：
  • 當h=5時，前 4 層結點數為2^4-1=15，總結點數最多15+8=23（<62，不滿足）；
  • 當h=6時，前 5 層結點數為2^5-1=31，總結點數最多31+32=63（≥62，滿足）。
    故高度為 6，選 C。
    考點：完全二叉樹的結點數與高度關系。
    重點：掌握公式2^(h-1) ≤ 結點數 ≤ 2^h - 1，通過不等式求解高度。
    教學方案：畫圖演示滿二叉樹與完全二叉樹的結構，推導高度計算公式，通過例題強化計算。
第 4 題

題目：以下關于數組的說法，不正確的是（ ）。
A. 數組中所有元素的類型必須都相同
B. 數組中各元素在內存中是順序存放的
C. 數組最后一個元素的索引是數組的長度
D. 數組名的第一個字符可以是下劃線
答案：C
解析：

  • A 正確：數組元素類型必須統一（如int arr[5]所有元素均為int）。
  • B 正確：數組在內存中連續存儲，元素地址遞增。
  • C 錯誤：索引從 0 開始，最后一個元素索引為長度-1（如長度 5 的數組索引 0~4）。
  • D 正確：數組名是標識符，允許以下劃線開頭（如_arr）。
    考點：數組的基本特性。
    重點：強調索引越界風險，區分數組長度與最大索引（長度 - 1）。
    教學方案：通過代碼示例演示數組定義、訪問，故意寫出越界代碼（如arr[5]對長度 5 的數組），觀察錯誤現象。
第 5 題

題目：執行以下代碼，輸出結果是（ ）。

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
int f(int k) {  if (k == 1) return 3;  return 2 * f(k - 1) + 1;  
}  
int main() {  int n = 6;  cout << f(n);  return 0;  
}

A. 127
B. 97
C. 63
D. 126
答案：A
解析：
遞歸函數遞推關系：

  • 基例：f(1)=3
  • 遞推：f(k)=2*f(k-1)+1
    展開計算：
  • f(2)=2×3+1=7
  • f(3)=2×7+1=15
  • f(4)=2×15+1=31
  • f(5)=2×31+1=63
  • f(6)=2×63+1=127
    考點：遞歸函數的遞推計算。
    重點：理解遞歸終止條件與遞推公式，可轉化為等比數列（通項公式：f(k)=2^(k+1)-1）。
    教學方案：用遞歸展開法逐步計算，引入數學歸納法推導通項公式，避免深層遞歸導致棧溢出。
二、編程題
第 6 題：特殊運算符

題目描述：
定義運算符 “>>>N” 為提取 N 的前兩位數字（如 257→25，182→18），計算 N - (>>>N)。
輸入：三位數 N（100<N<1000）。
輸出：N 減去前兩位的結果。
樣例輸入：257 → 輸出 232（257-25=232）。

答案代碼：

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main() {  int n;  cin >> n;  int first_two = n / 10; // 提取前兩位（如257/10=25）  cout << n - first_two << endl;  return 0;  
}

解析：
三位數的前兩位可通過整數除法n//10得到（如 933//10=93），直接計算差值即可。
考點：數字處理（整數除法提取高位）。
重點：掌握//和%的用法，明確三位數的結構（百位 ×100 + 十位 ×10 + 個位）。
教學方案：通過分解數字的各位（百位、十位、個位）演示n//100、n//10%10、n%10，強調整數除法的應用。

第 7 題：四葉玫瑰數

題目描述：
找出四位數中各位數字的四次方之和等于自身的數（如 1634=1?+6?+3?+4?），輸出 N~M 范圍內的數。
輸入：N 和 M（1≤N≤M≤1e6）。
輸出：按從小到大順序的四葉玫瑰數。
樣例輸入：1234 2345 → 輸出 1634。

答案思路：

  1. 僅枚舉四位數（1000≤num≤9999），減少計算量；
  2. 分解各位數字：千位a=num/1000，百位b=num/100%10，十位c=num/10%10，個位d=num%10；
  3. 計算四次方和，若等于原數則輸出。

代碼框架：

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
bool is_rose(int num) {  int a = num / 1000, b = num / 100 % 10, c = num / 10 % 10, d = num % 10;  return a*a*a*a + b*b*b*b + c*c*c*c + d*d*d*d == num;  
}  
int main() {  int n, m;  cin >> n >> m;  for (int i = max(n, 1000); i <= min(m, 9999); i++) {  if (is_rose(i)) cout << i << " ";  }  return 0;  
}

考點：枚舉算法與數字分解。
重點：限定枚舉范圍（僅四位數），優化循環條件，避免無效計算（如處理 N<1000 或 M>9999 的情況）。
教學方案：講解 “四葉玫瑰數” 的數學定義，演示數字分解方法，強調提前過濾非四位數以提高效率。

第 8 題：質因數的個數

題目描述：
統計 N~M 之間每個數的質因數個數（重復質因數算多個，如 8=2×2×2，個數為 3），求最大值。
輸入：N 和 M（1≤N≤M≤1e7）。
輸出：最大質因數個數。
樣例輸入：6 10 → 輸出 3（8 的質因數個數為 3）。

答案思路：

  1. 對每個數num進行質因數分解：從 2 到√num 試除，統計每個質因數的次數；
  2. 若試除后num>1，說明剩余部分是質數，次數加 1；
  3. 遍歷 N~M，記錄最大次數。

代碼核心：

cpp

int count_prime_factors(int num) {  int count = 0;  for (int i = 2; i * i <= num; i++) {  while (num % i == 0) { // 統計i的次數  count++;  num /= i;  }  }  if (num > 1) count++; // 處理剩余質數（如7、13等）  return count;  
}

考點：質因數分解與貪心統計。
重點：試除法分解質因數，區分質因數的 “種類” 與 “個數”（本題統計個數，包括重復）。
教學方案：通過示例（如 12=22×31，個數 2+1=3）講解質因數個數的定義，演示試除過程，強調從小到大試除以確保質因數。

第 9 題：最大的矩形紙片

題目描述：
在直方圖中找最大矩形面積（高度數組 [3,2,1,4,5,2] 的最大面積為 8）。
輸入：N（列數）和高度數組。
輸出：最大矩形面積。

答案思路：
使用單調棧算法：

  1. 維護一個單調遞增棧，存儲索引，對應高度遞增；
  2. 遍歷每個高度，找到左右兩邊第一個比它小的位置，計算寬度right - left - 1，面積 = 高度 × 寬度；
  3. 處理邊界條件（數組末尾加 0，確保棧中元素全部彈出）。

代碼框架：

cpp

#include <iostream>  
#include <stack>  
using namespace std;  
long long max_area(int n, int* heights) {  stack<int> st;  long long res = 0;  for (int i = 0; i <= n; i++) { // 末尾加0，處理所有元素  while (!st.empty() && (i == n || heights[st.top()] >= heights[i])) {  int h = heights[st.top()]; st.pop();  int w = st.empty() ? i : i - st.top() - 1;  res = max(res, (long long)h * w);  }  st.push(i);  }  return res;  
}

考點：直方圖最大矩形面積（單調棧算法）。
重點：理解單調棧的作用（快速找到左右邊界），處理數據類型溢出（使用long long）。
教學方案：通過直方圖畫圖演示單調棧的工作流程，解釋每個步驟的意義，對比暴力法與單調棧的時間復雜度（O (n) vs O (n2)）。

第 10 題：數字游戲

題目描述：
交替調整最小數到第二小、最大數到第二大，直到不同數少于 3 個，輸出調整次數、最終最小和最大值。
輸入：數組。
輸出：次數、最終最小值、最大值。
樣例輸入：1 3 4 2 → 調整 2 次，結果 2 2 3。

答案思路：

  1. 每次操作后排序數組，統計不同數的數量；
  2. 第奇數次操作：將所有最小數改為第二小數；
  3. 第偶數次操作：將所有最大數改為第二大數；
  4. 直到不同數≤2 時終止。

代碼核心：

cpp

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
int main() {  int n;  vector<int> nums;  cin >> n >> nums;  int count = 0;  bool is_min_turn = true; // 第一次調整最小數  while (true) {  sort(nums.begin(), nums.end());  // 統計不同數  int unique = 1;  for (int i = 1; i < n; i++) {  if (nums[i] != nums[i-1]) unique++;  }  if (unique < 3) break;  if (is_min_turn) {  int second_min = nums[1];  for (int i = 0; i < n; i++) {  if (nums[i] == nums[0]) nums[i] = second_min;  }  } else {  int second_max = nums[n-2];  for (int i = 0; i < n; i++) {  if (nums[i] == nums[n-1]) nums[i] = second_max;  }  }  count++;  is_min_turn = !is_min_turn;  }  sort(nums.begin(), nums.end());  cout << count << " " << nums[0] << " " << nums.back() << endl;  return 0;  
}

考點：模擬算法與排序。
重點：每次操作后排序，正確識別第二小 / 第二大數，處理邊界情況（如所有數相同）。
教學方案：通過示例演示調整過程，強調排序的重要性，講解如何統計不同數的數量（遍歷或使用集合）。

第 11 題：活動人數

題目描述：
樹狀結構中，選某部門則不能選直接下級，求最大人數（樹形動態規劃）。
輸入：部門數 N，每個部門的上級 F、編號 S、人數 C。
輸出：最大人數。
樣例輸入：6 個部門，輸出 11（選部門 1、4、5、6，人數 2+3+2+4=11）。

答案思路：
每個節點有兩種狀態：

  • dp[u][1]：選節點 u 時，最大人數（等于 u 的人數 + 所有子節點不選的最大值）；
  • dp[u][0]：不選節點 u 時，最大人數（等于所有子節點選或不選的最大值之和）。
    通過深度優先搜索（DFS）遞歸計算每個節點的狀態。

代碼框架：

cpp

#include <iostream>  
#include <vector>  
using namespace std;  
struct Node {  int c;  vector<int> children;  
};  
Node nodes[100001];  
int dp[100001][2]; // dp[u][1]選，dp[u][0]不選  void dfs(int u) {  dp[u][1] = nodes[u].c; // 選當前節點，初始化為自身人數  for (int v : nodes[u].children) {  dfs(v);  dp[u][1] += dp[v][0]; // 子節點不能選  dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]); // 子節點可選或不選  }  
}  int main() {  int n;  cin >> n;  for (int i = 1; i <= n; i++) {  int f, s, c;  cin >> f >> s >> c;  nodes[s].c = c;  if (f != 0) nodes[f].children.push_back(s); // 構建樹結構  }  // 找根節點（上級為0的節點）  int root = 0;  for (int i = 1; i <= n; i++) {  if (nodes[i].children.size() > 0 && (root == 0 || ...)) {  // 實際應遍歷找到f=0的s  // 正確方法：記錄每個節點的父節點，找父節點為0的節點  }  // 簡化：假設根節點是1（需根據輸入正確查找）  root = 1; // 實際需遍歷所有節點，找到f=0對應的s  }  dfs(root);  cout << max(dp[root][0], dp[root][1]) << endl;  return 0;  
}

考點：樹形動態規劃（樹上的選與不選問題）。
重點：樹的存儲（鄰接表），狀態轉移方程的推導，根節點的確定（上級為 0 的節點）。
教學方案：講解樹的基本概念，演示狀態轉移方程的推導過程，通過樣例分析選與不選的決策對結果的影響，強調遞歸 DFS 的實現。

詳細教學方案

一、選擇題模塊

  1. 數據類型與內存：

    • 對比bool、char、int等類型的字節數，通過代碼sizeof(bool)驗證。
    • 講解內存對齊原則，解釋為何bool占 1 字節而非 1 位。

  2. 結構體與類：

    • 編寫包含成員函數、構造函數、靜態成員的結構體示例，演示繼承語法（struct B : public A）。
    • 對比結構體與類的默認訪問權限（public?vs?private）。

  3. 二叉樹性質：

    • 畫圖演示滿二叉樹與完全二叉樹，推導高度計算公式h = floor(log2(n)) + 1。
    • 通過練習題（如結點數 30、63 的高度）強化計算。

  4. 數組基礎：

    • 演示數組定義、初始化、越界訪問，用調試工具觀察內存布局。
    • 強調索引從 0 開始，通過錯誤案例（如訪問arr[len]）加深印象。

  5. 遞歸函數：

    • 用遞歸展開法計算第 5 題，引入數學歸納法推導通項公式f(k)=2^(k+1)-1。
    • 講解遞歸與迭代的轉換，避免棧溢出（如限制遞歸深度）。
二、編程題模塊

  1. 數字處理（第 6 題）：

    • 講解整數除法//和取余%的用法，分解三位數的百位、十位、個位。
    • 設計變式題：提取前兩位（三位數）、前三位（四位數），計算差值。

  2. 枚舉算法（第 7 題）：

    • 限定枚舉范圍（四位數），避免無效循環（如 N=500 時從 1000 開始枚舉）。
    • 優化數字分解：用數學公式快速獲取各位數字，減少計算量。

  3. 質因數分解（第 8 題）：

    • 演示試除法分解質因數，強調從小到大試除確保質因數（如先除 2，再除 3，直到√num）。
    • 區分質因數的 “個數” 與 “種類”（本題統計個數，包含重復）。

  4. 單調棧算法（第 9 題）：

    • 通過直方圖動畫演示單調棧的工作流程，解釋每個元素的左右邊界如何確定。
    • 對比暴力法（O (n2)）與單調棧（O (n)）的效率，強調算法優化的重要性。

  5. 模擬與排序（第 10 題）：

    • 通過示例表格記錄每次調整后的數組狀態，演示排序的作用（快速找到最小 / 最大值）。
    • 處理邊界情況：如所有數相同（直接輸出 0 次），或只有兩種不同數（無需調整）。

  6. 樹形動態規劃（第 11 題）：

    • 講解樹的存儲方式（鄰接表），如何構建樹結構（根據輸入的上下級關系）。
    • 推導狀態轉移方程：選當前節點則子節點不能選，不選則子節點可選或不選，取最大值。
    • 通過樣例分析遞歸過程，強調根節點的正確查找（上級為 0 的節點）。
三、實戰訓練
  • 選擇題：設計 10 道同類題目，涵蓋數據類型、結構體、二叉樹、數組、遞歸等考點，限時 5 分鐘完成。
  • 編程題：
    • 第 6 題變式：處理四位數，提取前三位，計算差值。
    • 第 8 題優化：預處理質數表，加速質因數分解（適用于大數據范圍）。
    • 第 11 題擴展：處理森林（多棵樹），求所有樹的最大人數之和。
  • 調試技巧：
    • 學會使用斷點調試，觀察遞歸過程或循環變量變化。
    • 針對超時問題，分析算法時間復雜度，優化循環條件或選擇更高效的算法（如單調棧替代雙重循環）。

通過以上教學方案，學生可系統掌握 C++ 基礎、算法思維和編程技巧，提升解決競賽題目的能力。

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如何減少鎖競爭并細化鎖粒度以提高 Rust 多線程程序的性能？

在并發編程中&#xff0c;鎖&#xff08;Lock&#xff09;是一種常用的同步機制&#xff0c;用于保護共享數據免受多個線程同時訪問造成的競態條件&#xff08;Race Condition&#xff09;。然而&#xff0c;不合理的鎖使用會導致嚴重的性能瓶頸&#xff0c;特別是在高并發場景…
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AGV智能搬運機器人：富唯智能引領工業物流高效變革

AGV智能搬運機器人：富唯智能引領工業物流高效變革

在智能制造與工業4.0深度融合的今天&#xff0c;物流環節的高效與精準已成為企業核心競爭力的關鍵。富唯智能憑借其自主研發的AGV智能搬運機器人&#xff0c;以創新技術重塑工業物流標準&#xff0c;助力企業實現降本增效的跨越式發展。 一、技術突破&#xff1a;精準導航與智能…
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K8s 資源分類

K8s 資源分類

K8s 資源分類圖譜 內置資源的分類 1、工作負載相關&#xff1a; Pod&#xff1a;最小的部署單元&#xff0c;包含一個或多個容器。 Deployment&#xff1a;管理無狀態應用的副本和滾動更新。 StatefulSet&#xff1a;適用于有狀態應用&#xff08;如數據庫&#xff09;&#…
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VLM-AD：通過視覺語言模型監督實現端到端自動駕駛

VLM-AD：通過視覺語言模型監督實現端到端自動駕駛

《VLM-AD: End-to-End Autonomous Driving through Vision-Language Model Supervision》2024年12月發表&#xff0c;來自Cruise和美國東北大學的論文。 人類駕駛員依靠常識推理來駕馭多樣化和動態的現實世界場景。現有的端到端&#xff08;E2E&#xff09;自動駕駛&#xff0…
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目標檢測中的損失函數(三) | SIoU WIoUv1 WIoUv2 WIoUv3

目標檢測中的損失函數(三) | SIoU WIoUv1 WIoUv2 WIoUv3

&#x1f680;該系列將會持續整理和更新BBR相關的問題&#xff0c;如有錯誤和不足懇請大家指正&#xff0c;歡迎討論&#xff01;&#xff01;&#xff01; SCYLLA-IoU&#xff08;SIoU&#xff09;來自掛在2022年arxiv上的文章&#xff1a;《SIoU Loss: More Powerful Learnin…
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