2025“華中杯”大學生數學建模挑戰賽

選題分析

目前來看本科組，C題的選題人數最多，C題>B題>A題

A題：晶硅片產銷策略優化

這是一道典型的優化類題目。題目要求從晶硅片的銷量、售價、單晶方棒進價等重要決策變量入手，綜合考慮生產成本、銷售費用、管理費用和財務費用等因素，建立數學模型來優化企業經營決策，提高企業利潤。問題涉及多因素的相互制約與平衡，需要通過建立利潤計算模型、預測模型以及決策優化模型，來解決不同階段的問題，最終為企業提供9月份的生產計劃與銷售預案，甚至結合大語言模型進行更智能的決策支持。

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B題：校園共享單車的調度與維護問題

這是一道調度與優化類題目。題目圍繞校園共享單車的運營情況展開，要求參賽者基于單車數量統計和校園地圖等數據，估算單車總量、建立停車點的用車需求模型、調度模型以及運營效率評價模型，并進一步優化停車點位布局，最后設計出高效的故障車輛巡檢路線。該題目涉及多個環節的建模和優化，需要綜合運用數學建模、運籌學和圖論等知識，解決實際運營中的供需矛盾、調度效率和維護成本等問題。

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C題：就業狀態分析與預測

這是一道數據分析與預測類題目。題目提供宜昌地區部分就業數據，要求參賽者先進行數據特征分析，了解不同特征（如年齡、性別、學歷等）對就業狀態的影響，再構建就業狀態預測模型并對預測集進行預測，同時對模型進行評估和優化，并進一步考慮宏觀經濟等因素的影響來完善模型，最后建立人崗匹配模型。該題目重點考察參賽者對數據的處理和分析能力、特征選擇和模型構建能力，以及對就業市場的理解。

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D題：患者院內轉運不良事件的分析與預測

這是一道預測類題目。題目提供某醫院急診危重患者及神經外科患者院內轉運的相關數據，要求參賽者分析轉運過程中病情變化的影響因素、不良事件的影響因素及相關性，建立不良事件的預測模型，并從醫院管理角度給出建設性意見。該題目需要參賽者深入挖掘數據中的因果關系，運用統計分析、機器學習等方法進行建模和預測。

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A 題 晶硅片產銷策略優化

以下是對該數學建模問題中每個問題的詳細分析、解題思路、模型算法以及初步建模代碼：

問題 1：月利潤計算模型

問題分析

• 需要建立一個月利潤計算模型，重點考慮四型硅片的銷量、售價、單晶方棒進價以及其他影響企業利潤的重要決策因子。
• 利潤受多種因素影響，包括生產成本（硅單耗、耗材價格、生產變動成本、生產公用成本、人工成本等）、銷售量、銷售費用、管理費用和財務費用等。

解題思路

1. 明確利潤公式：利潤 = 銷售收入 - 總成本。
2. 分解成本：將總成本分解為固定成本和變動成本，固定成本包括設備折舊、管理人員工資等，變動成本包括原材料成本、生產過程中的耗材成本等。
3. 建立關系式：根據附件 1 中的說明，建立各變量之間的關系式，如銷售收入 = 銷售量 × 售價，原材料成本 = 硅單耗 × 單晶方棒進價 × 生產量等。
4. 整合模型：將所有關系式整合到利潤公式中，形成完整的月利潤計算模型。

模型算法

• 線性規劃：如果各變量之間的關系是線性的，可以使用線性規劃模型來求解。
• 非線性規劃：如果存在非線性關系，如成本與產量之間的非線性關系，可以使用非線性規劃模型。

初步建模代碼（Python）

import numpy as np# 定義變量
x = np.array([x1, x2, x3, x4])  # 四型硅片的銷量
p = np.array([p1, p2, p3, p4])  # 四型硅片的售價
c = np.array([c1, c2, c3, c4])  # 四型硅片的單晶方棒進價
si = np.array([si1, si2, si3, si4])  # 四型硅片的硅單耗
fixed_cost = 100000  # 固定成本
variable_cost_per_unit = np.array([vc1, vc2, vc3, vc4])  # 每單位產品的變動成本
selling_expense = 0.1 * np.sum(x * p)  # 銷售費用，假設為銷售收入的10%
management_expense = 50000  # 管理費用
financial_expense = 20000  # 財務費用# 計算利潤
revenue = np.sum(x * p)  # 銷售收入
raw_material_cost = np.sum(si * c * x)  # 原材料成本
variable_cost = np.sum(variable_cost_per_unit * x)  # 變動成本
total_cost = fixed_cost + raw_material_cost + variable_cost + selling_expense + management_expense + financial_expense
profit = revenue - total_costprint("月利潤為：", profit)

問題 2：預測模型

問題分析

• 需要建立數學模型預測企業四型硅片的月銷量、售價、單晶方棒價格以及其他重要因子的波動趨勢，并推測因子的合理變化區間。
• 需要利用附件 2 中的 2024 年 1 至 8 月的數據來建立模型。

解題思路

1. 數據預處理：對附件 2 中的數據進行預處理，包括數據清洗、缺失值處理、異常值處理等。
2. 選擇預測方法：根據數據的特點選擇合適的預測方法，如時間序列分析（ARIMA 模型）、回歸分析（線性回歸、多項式回歸）、機器學習方法（隨機森林、神經網絡）等。
3. 建立預測模型：使用選定的方法建立預測模型，對各因子進行預測。
4. 確定變化區間：根據預測結果和歷史數據的波動情況，確定各因子的合理變化區間。

模型算法

• 時間序列分析：ARIMA 模型適用于具有時間序列特征的數據預測。
• 回歸分析：線性回歸或多項式回歸可用于預測因子之間的線性或非線性關系。
• 機器學習方法：隨機森林、神經網絡等可用于處理復雜的非線性關系和高維數據。

初步建模代碼（Python）

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split# 加載數據
data = pd.read_csv("附件2.csv")# 數據預處理
data = data.dropna()  # 刪除缺失值
data = data[data['銷量'] > 0]  # 刪除銷量為0的異常值# 時間序列預測（以銷量為例）
time_series = data['銷量']
model = ARIMA(time_series, order=(5, 1, 0))
model_fit = model.fit()
forecast = model_fit.forecast(steps=1)  # 預測下一個月的銷量
print("預測的銷量：", forecast)# 回歸分析預測（以售價為例）
X = data[['銷量', '單晶方棒進價']]  # 自變量
y = data['售價']  # 因變量
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
regressor = LinearRegression()
regressor.fit(X_train, y_train)
y_pred = regressor.predict(X_test)
print("預測的售價：", y_pred)# 機器學習方法預測（以單晶方棒價格為例）
X = data[['銷量', '售價']]  # 自變量
y = data['單晶方棒進價']  # 因變量
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
regressor = RandomForestRegressor()
regressor.fit(X_train, y_train)
y_pred = regressor.predict(X_test)
print("預測的單晶方棒價格：", y_pred)

問題 3：決策優化模型

問題分析

• 需要建立能夠輔助決策優化企業利潤的數學模型，并依據模型的計算結果，給出 9 月份的生產計劃與銷售預案。
• 企業面臨售價與銷量的反向關系、固定成本與產量的反向關系、變動成本波動等多方面的制約與沖突。

解題思路

1. 建立目標函數：以最大化企業利潤為目標函數。
2. 確定約束條件：根據企業的實際情況，確定約束條件，如生產量、銷售量、原材料供應、設備產能等。
3. 選擇優化方法：根據目標函數和約束條件的特點，選擇合適的優化方法，如線性規劃、非線性規劃、遺傳算法等。
4. 求解優化模型：使用選定的優化方法求解模型，得到最優的生產計劃與銷售預案。

模型算法

• 線性規劃：如果目標函數和約束條件都是線性的，可以使用線性規劃模型。
• 非線性規劃：如果存在非線性關系，可以使用非線性規劃模型。
• 遺傳算法：適用于復雜的非線性優化問題，能夠搜索到全局最優解。

初步建模代碼（Python）

from scipy.optimize import linprog# 定義目標函數系數（以最大化利潤為例）
c = [-p1, -p2, -p3, -p4]  # 售價的負值，因為linprog默認求最小值# 定義約束條件
A = [[1, 1, 1, 1]]  # 生產量約束
b = [1000]  # 最大生產量
A_eq = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]  # 銷量約束
b_eq = [x1, x2, x3, x4]  # 銷量目標# 求解線性規劃模型
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=(0, None))# 輸出結果
print("最優生產計劃：", result.x)
print("最大利潤：", -result.fun)