矩陣的秩（Rank）是線性代數中的一個重要概念，表示矩陣中線性無關的行（或列）的最大數量。它反映了矩陣所包含的“有效信息”的維度，是矩陣的核心特征之一。

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直觀理解

1. 行秩與列秩：
   • 行秩：矩陣中線性無關的行向量的最大個數。
   • 列秩：矩陣中線性無關的列向量的最大個數。
   • 關鍵性質：對任意矩陣，行秩 = 列秩，因此統稱為“秩”。
2. 幾何意義：
   • 秩描述了矩陣對應的線性變換后空間的維度。例如：一個3×3矩陣的秩為2，表示它將三維空間壓縮到一個二維平面。

計算方法

1. 初等變換法：
   • 通過初等行變換將矩陣化為行階梯形（REF），非零行的數量即為秩。
   • 示例：非零行有2行，故秩為2。求解矩陣秩demo
     $$\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
2. 行列式法（僅適用于方陣）：
   • 矩陣的秩是其最高階非零子式的階數。例如，若存在一個2階子式不為零，但所有3階子式為零，則秩為2。

重要性質

1. 秩的范圍：

   • 對于 $m\times n$ 矩陣，$0\le rank(A)\le min(m,n)$
   • 若秩達到最大值$min(m,n)$，稱矩陣為滿秩矩陣。

2. 與線性方程組的關系：

   • 有解條件：方程組 $Ax=b$ 有解當且僅當 $\text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])$。
   • 解的個數：
     • 若 $\text{rank}(A)=n$（未知數個數），則唯一解。
     • 若 $\text{rank}(A)<n$，則有無窮多解（自由變量存在）。

3. 矩陣運算的影響：

   • $\text{rank}(A+B)\le \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$
   • $\text{rank}(AB)\le \min (\text{rank}(A),\text{rank}(B))$

總結

矩陣的秩本質上是其行或列向量的獨立信息量的度量，決定了矩陣在變換中的“自由度”。理解秩有助于分析方程組、空間變換以及矩陣的穩定性等問題。