電流控制回路:針對永磁電機(PMM)的d軸和q軸電流，考慮交叉耦合補償，設計P1控制器并推導出相應的傳遞函數。

1. 永磁電機（PMM）的數學模型

在同步旋轉坐標系（$d?q$ 坐標系）下，永磁同步電機（PMSM）的電壓方程為：
[
\begin{cases}
u_d = R_si_d + L_d\frac{di_d}{dt}-\omega_eL_qi_q \
u_q = R_si_q + L_q\frac{di_q}{dt}+\omega_eL_di_d+\omega_e\psi_f
\end{cases}
]
其中，$u_d$ 和 $u_q$ 分別是 $d$ 軸和 $q$ 軸電壓；$i_d$ 和 $i_q$ 分別是 $d$ 軸和 $q$ 軸電流；$R_s$ 是定子電阻；$L_d$ 和 $L_q$ 分別是 $d$ 軸和 $q$ 軸電感；${\omega }_e$ 是電角速度；${\psi }_f$ 是永磁體磁鏈。

2. 交叉耦合補償

為了消除 $d$ 軸和 $q$ 軸之間的交叉耦合影響，我們引入補償項。令：
[
\begin{cases}
u_{d_comp} = \omega_eL_qi_q \
u_{q_comp} = -\omega_eL_di_d-\omega_e\psi_f
\end{cases}
]
經過補償后，電壓方程變為：
[
\begin{cases}
u_d - u_{d_comp}= R_si_d + L_d\frac{di_d}{dt} \
u_q - u_{q_comp}= R_si_q + L_q\frac{di_q}{dt}
\end{cases}
]

3. PI 控制器設計

PI 控制器的一般形式為：
[
G_{PI}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}=\frac{K_ps + K_i}{s}
]
其中，$K_p$ 是比例系數，$K_i$ 是積分系數。

對于 $d$ 軸電流控制回路，控制器的輸出為 $u_d?u_{d\_comp}$，輸入為 $i_d^{?}?i_d$（$i_d^{?}$ 是 $d$ 軸電流給定值）。則有：
[
u_d - u_{d_comp}=G_{PI}(s)(i_d^* - i_d)
]
將 $u_d?u_{d\_comp}=R_s{i}_d+L_d\frac{d{i}_d}{dt}$ 代入上式，在拉普拉斯域中可得：
[
(R_s + L_ds)I_d(s)=G_{PI}(s)(I_d^(s)-I_d(s))
]
整理可得 $d$ 軸電流控制回路的傳遞函數：
[
\frac{I_d(s)}{I_d^(s)}=\frac{G_{PI}(s)}{R_s + L_ds+G_{PI}(s)}=\frac{K_ps + K_i}{L_ds^2+(R_s + K_p)s + K_i}
]

對于 $q$ 軸電流控制回路，控制器的輸出為 $u_q?u_{q\_comp}$，輸入為 $i_q^{?}?i_q$（$i_q^{?}$ 是 $q$ 軸電流給定值）。同理可得：
[
(R_s + L_qs)I_q(s)=G_{PI}(s)(I_q^(s)-I_q(s))
]
整理可得 $q$ 軸電流控制回路的傳遞函數：
[
\frac{I_q(s)}{I_q^(s)}=\frac{G_{PI}(s)}{R_s + L_qs+G_{PI}(s)}=\frac{K_ps + K_i}{L_qs^2+(R_s + K_p)s + K_i}
]

4. Python 代碼示例（驗證傳遞函數）

import control
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 電機參數
R_s = 1  # 定子電阻
L_d = 0.1  # d 軸電感
L_q = 0.1  # q 軸電感
K_p = 10  # 比例系數
K_i = 100  # 積分系數# d 軸傳遞函數
num_d = [K_p, K_i]
den_d = [L_d, R_s + K_p, K_i]
sys_d = control.TransferFunction(num_d, den_d)# q 軸傳遞函數
num_q = [K_p, K_i]
den_q = [L_q, R_s + K_p, K_i]
sys_q = control.TransferFunction(num_q, den_q)# 繪制階躍響應
t = np.linspace(0, 1, 1000)
t_d, y_d = control.step_response(sys_d, t)
t_q, y_q = control.step_response(sys_q, t)plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_d, y_d)
plt.title('d 軸電流控制回路階躍響應')
plt.xlabel('時間 (s)')
plt.ylabel('電流')plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_q, y_q)
plt.title('q 軸電流控制回路階躍響應')
plt.xlabel('時間 (s)')
plt.ylabel('電流')plt.tight_layout()
plt.show()

這個代碼示例使用 Python 的 control 庫來創建 $d$ 軸和 $q$ 軸電流控制回路的傳遞函數，并繪制它們的階躍響應。你可以根據實際的電機參數調整代碼中的參數值。