C++ 紅黑樹

目錄

1.紅黑樹的概念

2.紅黑樹的性質

3.紅黑樹節點的定義

?4.紅黑樹的插入操作

?5.數據測試

1.紅黑樹的概念

????????紅黑樹，是一種二叉搜索樹，但在每個結點上增加一個存儲位表示結點的顏色，可以是Red或Black。 通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個結點著色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的

2.紅黑樹的性質

1. 每個結點不是紅色就是黑色
2. 根節點是黑色的
3. 如果一個節點是紅色的，則它的兩個孩子結點是黑色的
4. 對于每個結點，從該結點到其所有后代葉結點的簡單路徑上，均 包含相同數目的黑色結點
5. 每個葉子結點都是黑色的(此處的葉子結點指的是空結點)
思考：為什么滿足上面的性質，紅黑樹就能保證：其最長路徑中節點個數不會超過最短路徑節點個數的兩倍？

  • 最短路徑：由于性質4規定從任意節點到葉子節點的所有路徑都包含相同數量的黑色節點，因此由純黑色節點組成的路徑將是最短路徑。這是因為黑色節點是每條路徑上必須包含的，而且沒有其他顏色的節點可以“縮短”這條路徑。
  • 最長路徑：最長路徑將是由紅色和黑色節點交替組成的路徑。由于性質3禁止了連續紅色節點的出現，因此最長路徑將是黑色節點與紅色節點交替出現的情況。由于每條路徑上的黑色節點數量相同（性質4），紅色節點的插入不會增加路徑上黑色節點的數量，而是增加了路徑的總長度。
  • 路徑長度比較：在最長路徑中，每兩個黑色節點之間可能插入一個紅色節點，這使得最長路徑的長度大致為最短路徑（純黑色節點）的兩倍。這是因為在保持黑色節點數量相同的情況下，紅色節點的插入只是在黑色節點之間增加了額外的節點，而這些額外的紅色節點最多只能使路徑長度加倍。

3.紅黑樹節點的定義

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;private:Node* _root = nullptr;
};
  • 成員變量：
    • _left、_right?和?_parent?分別指向節點的左子節點、右子節點和父節點。
    • _kv?是一個?pair<K, V>，存儲節點的鍵和值。
    • _col?表示節點的顏色，可以是?RED?或?BLACK。
  • 構造函數：
    接收一個?pair<K, V>?作為參數，初始化節點的鍵值對，并將節點的顏色初始化為?RED。其他指針成員初始化為?nullptr。

?4.紅黑樹的插入操作

????????我們在進行插入操作時，新節點默認是紅色。紅色節點的插入可能導致紅黑樹的性質被破壞，但通過將新節點設為紅色，我們可以更容易地通過顏色變換和旋轉來恢復平衡。具體來說，紅色節點的插入只會影響局部區域的平衡，而黑色節點的插入則可能影響整棵樹的平衡。

因為新節點的默認顏色是紅色，因此：如果其雙親節點的顏色是黑色，沒有違反紅黑樹任何
性質，則不需要調整；但當新插入節點的雙親節點顏色為紅色時，就違反了性質三不能有連
在一起的紅色節點，此時需要對紅黑樹分情況來討論：
約定:cur為當前節點，p為父節點，g為祖父節點，u為叔叔節點
情況一: cur為紅，p為紅，g為黑，u存在且為紅

情況二: cur為紅，p為紅，g為黑，u不存在/u存在且為黑

p為g的左孩子，cur為p的左孩子，則進行右單旋轉；相反，
p為g的右孩子，cur為p的右孩子，則進行左單旋轉


p、g變色--p變黑，g變紅
?

情況三: cur為紅，p為紅，g為黑，u不存在/u存在且為黑（雙旋）

p為g的左孩子，cur為p的右孩子，則針對p做左單旋轉；相反，
p為g的右孩子，cur為p的左孩子，則針對p做右單旋轉
則轉換成了情況2
針對每種情況進行相應的處理即可。

據以上情況寫代碼：

}cur = new Node(kv);cur->_col = RED; // 新增節點給紅色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// parent的顏色是黑色也結束while (parent && parent->_col == RED){// 關鍵看叔叔Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 叔叔存在且為紅，-》變色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 繼續往上處理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且為黑{if (cur == parent->_left){//     g  //   p   u// c RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g  //   p     u//      c RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 叔叔存在且為紅，-》變色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 繼續往上處理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且為黑{// 情況二：叔叔不存在或者存在且為黑// 旋轉+變色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}

代碼解釋：

  1. 初始化新節點:
    • 創建一個新的節點cur，并為其分配鍵值對kv。
    • 將新節點的顏色設置為紅色（RED），因為在紅黑樹的規則中，新插入的節點默認為紅色。
    • 根據鍵值對的大小，將新節點插入到其父節點的左子樹或右子樹。
    • 設置新節點的父節點。
  2. 調整紅黑樹以保持其性質:
    • 如果父節點是黑色的，那么不需要進行任何調整，因為插入紅色節點不會違反紅黑樹的性質。
    • 如果父節點是紅色的，那么需要進行調整以恢復紅黑樹的性質。這是通過一個循環來完成的，該循環會持續進行，直到父節點不再是紅色或者已經進行了必要的調整。
  3. 調整過程:
    • 首先，根據父節點是其祖父節點的左子節點還是右子節點，分為兩種情況處理。
    • 在每種情況下，都會考慮叔叔節點的顏色和存在性。
    • 如果叔叔節點是紅色的，那么可以通過重新著色父節點、叔叔節點和祖父節點來恢復紅黑樹的性質，然后將當前節點移動到祖父節點，并更新父節點為祖父節點的父節點，繼續向上調整。
    • 如果叔叔節點是黑色的或者不存在，那么需要進行旋轉操作來恢復紅黑樹的性質。根據當前節點是父節點的左子節點還是右子節點，進行相應的旋轉操作，并重新著色節點。
  4. 結束調整:
    • 一旦退出調整循環，將根節點著色為黑色，以確保紅黑樹的根節點總是黑色的性質。

以下是旋轉邏輯的代碼示例：

	void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}}

?5.數據測試

????????為了更好的測試數據，我們需要寫一個檢查一棵紅黑樹是否滿足紅黑樹的性質，以確保紅黑樹的正確性：

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum){if (root == nullptr){//cout << blackNum << endl;if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色節點的數量不相等的路徑" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在連續的紅色節點" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(root->_left, blackNum, refNum)&& Check(root->_right, blackNum, refNum);}

代碼解釋：

  1. 空節點檢查：

    • 如果root是空指針（即已經到達了一個葉節點），函數會檢查當前路徑上的黑色節點數量blackNum是否與參考數量refNum相等。
    • 如果不相等，會輸出錯誤信息，并返回false，表示檢查失敗。
    • 如果相等，則返回true，表示這條路徑滿足紅黑樹的性質。

  2. 連續紅色節點檢查：

    • 如果當前節點的顏色是紅色，并且其父節點的顏色也是紅色，那么會輸出錯誤信息，并返回false。因為紅黑樹的一個關鍵性質是不允許有兩個連續的紅色節點。

  3. 黑色節點計數：

    • 如果當前節點的顏色是黑色，blackNum會遞增，以記錄從根節點到當前節點的路徑上黑色節點的數量。

  4. 遞歸檢查：

    • 函數會遞歸地對左子樹和右子樹進行相同的檢查。
    • 如果左右子樹都滿足紅黑樹的性質（即遞歸調用都返回true），則整個子樹滿足性質，函數返回true。
    • 如果有任何一個子樹不滿足性質，函數返回false。

下面是紅黑樹的完整代碼：

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED; // 新增節點給紅色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// parent的顏色是黑色也結束while (parent && parent->_col == RED){// 關鍵看叔叔Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 叔叔存在且為紅，-》變色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 繼續往上處理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且為黑{if (cur == parent->_left){//     g  //   p   u// c RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g  //   p     u//      c RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 叔叔存在且為紅，-》變色即可if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 繼續往上處理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且為黑{// 情況二：叔叔不存在或者存在且為黑// 旋轉+變色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root->_col == RED){return false;}int refNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){++refNum;}cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, refNum);}private:bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum){if (root == nullptr){//cout << blackNum << endl;if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色節點的數量不相等的路徑" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在連續的紅色節點" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(root->_left, blackNum, refNum)&& Check(root->_right, blackNum, refNum);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

數據測試：

void TestRBTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14,8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };RBTree<int, int> t1;for (auto e : a){if (e == 10){int i = 0;}t1.Insert({ e,e });cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;}t1.InOrder();cout << t1.IsBalance() << endl;
}

符合預期，代碼正確。

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