問題 6：在區域 {x2+y2+z2≤1}\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}{x2+y2+z2≤1} 內找到一個調和函數 uuu，使得在邊界 x2+y2+z2=1x^{2}+y^{2}+z^{2}=1x2+y2+z2=1 上，uuu 等于 g=z3g=z^{3}g=z3。
提示：根據第8.1節，解必須是一個三次調和多項式，并且它應該只依賴于 x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2}x2+y2+z2 和 zzz（解釋為什么）。唯一的方式是找到 u=z3+az(1?x2?y2?z2)u=z^{3}+a z(1-x^{2}-y^{2}-z^{2})u=z3+az(1?x2?y2?z2)，其中 aaa 是未知系數。
解決問題 6
需要找到調和函數 uuu 在單位球內滿足 Δu=0\Delta u = 0Δu=0，且在邊界上 u=z3u = z^3u=z3。
由于邊界條件 g=z3g = z^3g=z3 是 zzz 的三次函數且具有軸對稱性（只依賴于 zzz），因此解 uuu 也應該具有同樣的對稱性，即只依賴于 zzz 和 r2=x2+y2+z2r^2 = x^2 + y^2 + z^2r2=x2+y2+z2。這就是為什么解應該只依賴于 x2+y2+z2x^2 + y^2 + z^2x2+y2+z2 和 zzz。
根據提示，設 u=z3+az(1?r2)u = z^3 + a z (1 - r^2)u=z3+az(1?r2)，其中 r2=x2+y2+z2r^2 = x^2 + y^2 + z^2r2=x2+y2+z2。在邊界 r2=1r^2 = 1r2=1 上，u=z3u = z^3u=z3，滿足邊界條件。現在需要選擇 aaa 使得 Δu=0\Delta u = 0Δu=0.
計算 Δu\Delta uΔu：
- Δ(z3)=?2?x2(z3)+?2?y2(z3)+?2?z2(z3)=0+0+6z=6z\Delta (z^3) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(z^3) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}(z^3) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}(z^3) = 0 + 0 + 6z = 6zΔ(z3)=?x2?2?(z3)+?y2?2?(z3)+?z2?2?(z3)=0+0+6z=6z.
- 令 v=az(1?r2)=az?azr2v = a z (1 - r^2) = a z - a z r^2v=az(1?r2)=az?azr2，則 Δv=Δ(az)?Δ(azr2)\Delta v = \Delta(a z) - \Delta(a z r^2)Δv=Δ(az)?Δ(azr2).
- Δ(az)=aΔ(z)=0\Delta(a z) = a \Delta(z) = 0Δ(az)=aΔ(z)=0.
- 計算 Δ(azr2)\Delta(a z r^2)Δ(azr2):
zr2=z(x2+y2+z2)=zx2+zy2+z3z r^2 = z(x^2 + y^2 + z^2) = z x^2 + z y^2 + z^3zr2=z(x2+y2+z2)=zx2+zy2+z3.- Δ(zx2)=2z\Delta(z x^2) = 2zΔ(zx2)=2z（因為 ?2?x2(zx2)=2z\frac{\partial^2}{\partial x^2}(z x^2) = 2z?x2?2?(zx2)=2z, 其他導數為零）。
- Δ(zy2)=2z\Delta(z y^2) = 2zΔ(zy2)=2z.
- Δ(z3)=6z\Delta(z^3) = 6zΔ(z3)=6z.
所以 Δ(zr2)=2z+2z+6z=10z\Delta(z r^2) = 2z + 2z + 6z = 10zΔ(zr2)=2z+2z+6z=10z，因此 Δ(azr2)=10az\Delta(a z r^2) = 10a zΔ(azr2)=10az.
- 于是 Δv=0?10az=?10az\Delta v = 0 - 10a z = -10a zΔv=0?10az=?10az.
因此，
Δu=Δ(z3)+Δv=6z?10az.
\Delta u = \Delta(z^3) + \Delta v = 6z - 10a z.
Δu=Δ(z3)+Δv=6z?10az.
設 Δu=0\Delta u = 0Δu=0：
6z?10az=0?????6?10a=0?????a=35.
6z - 10a z = 0 \implies 6 - 10a = 0 \implies a = \frac{3}{5}.
6z?10az=0?6?10a=0?a=53?.
所以調和函數為：
u=z3+35z(1?x2?y2?z2).
u = z^3 + \frac{3}{5} z (1 - x^2 - y^2 - z^2).
u=z3+53?z(1?x2?y2?z2).
