插值方法的Python實現

1.?線性插值（Linear Interpolation）

• 原理：用直線連接相鄰數據點，計算中間點的值。

• 實現：

  import numpy as np
  from scipy.interpolate import interp1dx = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
  y = np.array([0, 2, 1, 3, 4])
  f = interp1d(x, y, kind='linear')  # 創建插值函數
  x_new = np.linspace(0, 4, 10)
  y_new = f(x_new)  # 插值結果

• 優點：計算快，結果穩定。

• 缺點：曲線不平滑，不適用于高波動數據。

• 場景：實時數據處理、簡單填充缺失值。

2.?多項式插值（Polynomial Interpolation）

• 原理：通過多項式擬合所有數據點（如拉格朗日多項式）。

• 實現：

  from scipy.interpolate import lagrangepoly = lagrange(x, y)  # 生成拉格朗日多項式
  y_new = poly(x_new)

• 優點：嚴格通過所有數據點。

• 缺點：高階多項式易過擬合（龍格現象）。

• 場景：理論分析、低階多項式插值。

3.?三次樣條插值（Cubic Spline）

• 原理：分段三次多項式，保證一階和二階導數連續。

• 實現：

  f = interp1d(x, y, kind='cubic')
  y_new = f(x_new)

• 優點：曲線平滑，適合連續數據。

• 缺點：計算量較大。

• 場景：自然信號（如音頻、圖像）、平滑曲線生成。

4.?最近鄰插值（Nearest-neighbor）

• 原理：取距離最近的已知點的值。

• 實現：

  f = interp1d(x, y, kind='nearest')
  y_new = f(x_new)

• 優點：保留數據離散特性。

• 缺點：階梯狀不連續。

• 場景：分類數據插值、圖像像素處理。

5.?Pandas 內置插值

• 原理：直接對?Series?或?DataFrame?進行缺失值填充。

• 實現：

  import pandas as pds = pd.Series([1, np.nan, 3, np.nan, 5])
  s_interp = s.interpolate(method='linear')  # 可選 cubic, quadratic, spline 等

• 方法參數：

  • method='time'：按時間索引插值。

  • method='spline'：需指定?order（多項式階數）。

• 場景：時間序列數據清洗、缺失值填充。

進階功能

1.?外推（Extrapolation）

• 功能：允許對超出原始數據范圍的點進行插值。

• 實現：

  f = interp1d(x, y, kind='cubic', fill_value='extrapolate')
  y_ext = f([-1, 5])  # 外推 x=-1 和 x=5 的值

2.?非均勻數據插值

• 問題：當數據點非均勻分布時，需指定插值軸參數。

• 示例：

  x = np.array([0, 2, 5, 9])  # 非均勻分布
  y = np.array([3, 1, 4, 2])
  f = interp1d(x, y, kind='linear', assume_sorted=False)

3.?Akima 插值

• 特點：避免三次樣條的過度震蕩。

• 實現：

  from scipy.interpolate import Akima1DInterpolatorakima = Akima1DInterpolator(x, y)
  y_new = akima(x_new)

方法對比與選型

方法	平滑性	計算速度	外推支持	適用場景
線性插值	低	快	否	實時計算、簡單填充
三次樣條	高	中	是	自然信號、平滑曲線
多項式插值	高	慢	否	理論分析、低階數據
最近鄰	無	極快	否	離散分類數據
Pandas 插值	可調	快	部分支持	時間序列、表格數據清洗

注意事項

1. 單調性要求
   大多數插值方法要求?x?數據單調遞增，否則會報錯。若數據無序，需先排序：

   sorted_idx = np.argsort(x)
   x_sorted = x[sorted_idx]
   y_sorted = y[sorted_idx]

2. 缺失值處理
   SciPy插值函數不支持輸入含?NaN?的數據，需預先刪除或填充：

   y_clean = y[~np.isnan(y)]

3. 性能優化
   對超大數據（如百萬級數據點），優先使用?kind='linear'?或?kind='nearest'。

完整示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d# 原始數據
x = np.array([0, 2, 3, 5, 8])
y = np.array([1, 4, 2, 6, 3])# 生成插值函數（三次樣條）
f_cubic = interp1d(x, y, kind='cubic', fill_value='extrapolate')
x_new = np.linspace(0, 8, 100)
y_cubic = f_cubic(x_new)# 繪圖對比
plt.scatter(x, y, color='red', label='原始數據')
plt.plot(x_new, y_cubic, label='三次樣條插值')
plt.legend()
plt.show()