practice makes perfect
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若被積函數在積分區間上是可積的，那么變限積分函數在這個區間上是連續的，變限積分在積分區間上是可導的，并且導數等于被積函數。
不定積分：被積函數在某區間上連續，原函數存在。被積函數在區間上處處有定義，且存在第一類間斷點或無窮間斷點，在這個區間上原函數不存在。被積函數在某區間上存在振蕩間斷點，原函數可能存在。
定積分：被積函數連續，定積分存在。被積函數連續，變限積分可導，并且變限積分的導數就是被積函數。被積函數在區間上有界（沒有無窮間斷點），且只有有限個間斷點（第一類間斷點或振蕩間斷點），定積分也存在。
可以發現，被積函數在某區間上連續，不定積分存在，定積分也存在，變限積分可導，連續，變限積分的導數等于被積函數。定積分的限制條件沒有不定積分那么嚴格，可能本質上就是因為單個點不影響面積的計算。
變限積分的求導的公式，
F ( x ) = ∫ α ( x ) β ( x ) f ( t ) d t , F ′ ( x ) = f [ β ( x ) ] β ′ ( x ) ? f [ α ( x ) ] α ′ ( x ) F(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt,F'(x)=f[\beta (x)]\beta '(x)-f[\alpha {(x)}]\alpha '(x) F(x)=∫α(x)β(x)?f(t)dt,F′(x)=f[β(x)]β′(x)?f[α(x)]α′(x)
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∫ 0 0 f ( t ) d t = 0 \int_0^0f(t)dt=0 ∫00?f(t)dt=0
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F ( x ) = ∫ t a n x x 2 x f ( t ) d t = x ∫ t a n x x 2 f ( t ) d t F(x)=\int_{tanx}^{x^2}xf(t)dt=x\int_{tanx}^{x^2}f(t)dt F(x)=∫tanxx2?xf(t)dt=x∫tanxx2?f(t)dt
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形如
∫ 0 x f ( x ? t ) d t \int _0^{x}f(x-t)dt ∫0x?f(x?t)dt
令 x ? t = u x-t=u x?t=u, 換元處理。
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[ ∫ 0 x s i n t t + c d t ] ′ = s i n x x + c [\int_0^x\frac{sint}{\sqrt{t+c}}dt]'=\frac{sinx}{\sqrt{x+c}} [∫0x?t+c?sint?dt]′=x+c?sinx?
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lim ? x → 0 + ∫ 0 x u e x ? u d u = lim ? x → 0 + ∫ 0 x u e ? u d u \lim_{x\to 0^{+}}\int_0^{x}\sqrt{u}e^{x-u}du=\lim_{x\to0^{+}}\int_0 ^{x}\sqrt{u}e^{-u}du x→0+lim?∫0x?u?ex?udu=x→0+lim?∫0x?u?e?udu
變限積分可能在洛必達背景下考察。
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無窮積分就是積分上下限里面至少有一個為無窮的變限積分，也有可能積分上下限都是無窮。
∫ 1 x 2 ? a 2 d x = 1 2 a l n ∣ x ? a x + a ∣ + C , a > 0 \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,a>0 ∫x2?a21?dx=2a1?ln∣x+ax?a?∣+C,a>0
∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a a r c t a n x a + C , a > 0 \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C,a>0 ∫x2+a21?dx=a1?arctanax?+C,a>0
下面的 a>0 就省略不寫了。
∫ 1 a 2 ? x 2 d x = a r c s i n x a + C ∫ 1 x 2 + a 2 d x = l n ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C ∫ 1 x 2 ? a 2 d x = l n ∣ x + x 2 ? a 2 ∣ + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\\[1cm] \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\\[1cm] \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C ∫a2?x2?1?dx=arcsinax?+C∫x2+a2?1?dx=ln∣x+x2+a2?∣+C∫x2?a2?1?dx=ln∣x+x2?a2?∣+C
正無窮的時候是 0 ，負無窮的時候是 π \pi π ，等于零的時候是 π 2 \frac{\pi}{2} 2π?
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計算反常積分時，我們首先考察瑕點，假設存在瑕點，以瑕點為分界點，將定積分分開，否則直接計算定積分。此題存在瑕點，但是瑕點是積分上限，故對定積分的值沒有影響。
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∫ ? 1 x 2 d x = 1 x + C \int\frac{-1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C ∫x2?1?dx=x1?+C
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∫ 1 + ∞ d x x ( 1 + x ) = ∫ 1 + ∞ ( 1 x ? 1 1 + x ) d x \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x(1+x)}=\int_1^{+\infty}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx ∫1+∞?x(1+x)dx?=∫1+∞?(x1??1+x1?)dx
lim ? x → + ∞ 1 x ( 1 + x ) ～ lim ? x → + ∞ 1 x 2 , 2 > 1 所以收斂 \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x(1+x)}\sim\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2},2>1\text{ 所以收斂} x→+∞lim?x(1+x)1?～x→+∞lim?x21?,2>1?所以收斂
∫ a + ∞ 1 x p d x , p > 1 收斂 \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx,p>1 \text{ 收斂} ∫a+∞?xp1?dx,p>1?收斂
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lim ? x → 0 1 x + x 2 ～ lim ? x → 0 1 x 和取低階,1=1?，所以發散 \lim_{x\to0}\frac{1}{x+x^2}\sim\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\text{ 和取低階,1=1 ，所以發散} x→0lim?x+x21?～x→0lim?x1??和取低階,1=1?，所以發散
∫ 0 a 1 x p d x , p < 1 收斂 \int_0^a\frac{1}{x^p}dx,p<1 \text{ 收斂} ∫0a?xp1?dx,p<1?收斂
∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x = ∫ 0 1 ( 1 x ? 1 x + 1 ) d x \int_0^1\frac{1}{x(x+1)dx}=\int_0^1(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx ∫01?x(x+1)dx1?=∫01?(x1??x+11?)dx
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∫ a + ∞ 1 x p d x , p > 1 收斂 \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx,p>1 \text{ 收斂} ∫a+∞?xp1?dx,p>1?收斂
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x = 0 x=0 x=0 不是 f ( x ) = x 3 1 + x 4 f(x)=\frac{x^3}{1+x^4} f(x)=1+x4x3? 的瑕點，所以 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞?f(x)dx 與 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx ∫1+∞?f(x)dx 具有相同的斂散性。
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