Matlab中的階數估計函數

在MATLAB中，使用firpmord函數可以估算等波紋FIR濾波器的最小階數。該方法基于Parks-McClellan算法，通過通帶和阻帶的頻率邊界、幅度響應及允許的最大誤差來自動計算參數。

rp = 3;           % Passband ripple in dB 
rs = 40;          % Stopband ripple in dB
fs = 2000;        % Sampling frequency
f = [500 600];    % Cutoff frequencies
a = [1 0];        % Desired amplitudes
dev = [(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1) 10^(-rs/20)]; 
[n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fs);
b = firpm(n,fo,ao,w);
freqz(b,1,1024,fs)
title('Lowpass Filter Designed to Specifications')

• 輸入參數：f（頻率邊界），a（幅度），dev（誤差），fs（采樣頻率，可選）
• 輸出參數：n（估算的階數），fo（歸一化頻率邊界），ao（幅度響應），w（加權系數）

階數估計公式

對于給定的通帶波紋大小xdB，阻帶衰減

注意，上述幾個值不是獨立得，任意4個值就能確定5個。用于預測所需濾波器長度的公式清楚地表明了這一點。Kaiser開發了以下近似關系來估計滿足規范的濾波器長度：

$$N\approx \frac{?20{\log }_{10}(\sqrt{{\delta }_p{\delta }_s})?13}{14.6\Delta F}+1$$

其中$\begin{array}{r}\Delta F=({\omega }_s?{\omega }_p)/(2\pi )\end{array}$，即過渡帶帶寬。Herrmann等人[3]給出了一個更準確的公式

$$N\approx \frac{D_{\infty }({\delta }_p,{\delta }_s)?f({\delta }_p,{\delta }_s)(\Delta F{)}^2}{\Delta F}+1$$

其中：

$$\begin{array}{rl}& \\ D_{\infty }({\delta }_p,{\delta }_s)& =(0.005309({\log }_{10}{\delta }_p{)}^2+0.07114{\log }_{10}{\delta }_p?0.4761){\log }_{10}{\delta }_s\\ & \\ & ?(0.00266({\log }_{10}{\delta }_p{)}^2+0.5941{\log }_{10}{\delta }_p+0.4278),\end{array}$$

$$f({\delta }_p,{\delta }_s)=11.01217+0.51244({\log }_{10}{\delta }_p?{\log }_{10}{\delta }_s)$$

這些公式假設δs<δp。否則，必須交換δp和δs。該公式在信號處理工具箱中的Matlab函數中實現。

請注意，上述估計公式都表明濾波器長度N和過渡寬度?F成反比（對于（16），當$\Delta F$變為0時）。這與最大平坦對稱濾波器（maximally flat symmetric filters）的對應關系形成鮮明對比。對于具有固定δp和δs的等波紋濾波器，?F減小為1/N；而對于最大平坦濾波器，?F減小為$1/\sqrt{N}$。

參考文獻

1. remez講座：https://eeweb.engineering.nyu.edu/iselesni/EL713/remez/remez.pdf
2. matlab函數（firpmord)說明：https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/firpmord.html
3. Python scipy庫文檔：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.remez.html
4. O. Herrmann, L. R. Rabiner, and D. S. K. Chan. Practical design rules for optimum finite impulse response lowpass digital filters. The Bell System Technical Journal, 52:769–799, 1973.