---

拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling）技術詳解

拉丁超立方采樣是一種用于多維參數空間采樣的統計方法，廣泛應用于不確定性量化、敏感性分析以及工程仿真等領域。本文將深入淺出地介紹其原理、數學公式，并結合 Python 代碼實現演示如何高效生成滿足均勻性要求的采樣點。

1. 引言

在很多實際問題中，參數的不確定性可能導致模型結果的顯著變化。傳統的蒙特卡洛采樣雖然簡單，但在高維情況下需要大量樣本才能覆蓋參數空間。拉丁超立方采樣作為一種改進方案，通過保證各維度均勻分布，能在較少樣本下實現較好的覆蓋效果，從而提高仿真效率。

2. 拉丁超立方采樣原理

拉丁超立方采樣的基本思想可以概括為：

• 分割區間：對于每個維度，將變量所在區間均勻劃分為 (N) 個互不重疊的子區間（通常 (N) 為樣本數）。
• 在子區間內隨機采樣：在每個子區間內隨機抽取一個點，保證每個區間僅使用一次。
• 隨機排列組合：對每個維度均進行上述采樣，再通過隨機排列組合不同維度的采樣點，形成多維采樣點矩陣。

這種方法確保了在任一維度上，采樣點都均勻分布在整個區間內，從而避免了傳統隨機采樣中可能出現的“空洞”。

3. 數學公式描述

設有 $d$ 個維度，每個維度的區間被劃分為 $N$ 個等概率子區間，令 $i=1,2,\dots ,N$ 表示樣本編號，$j=1,2,\dots ,d$ 表示維度。對于每個維度 $j$：

1. 先隨機生成一個排列 ${\pi }^{}$