1. 解Ax=b

求解
$$?\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=b_1\\ 2x_1+4x_2+6x_3+8x_4=b_2\\ 3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=b_3\end{array}$$
消元
$$\begin{array}{rlr}\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right]}}& \underset{ro{w}_3?3ro{w}_1}{\overset{ro{w}_2?2ro{w}_1}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& b_2?2b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_3?3b_1\end{array}\right]& \\ & \underset{行階梯形式}{\overset{ro{w}_3?ro{w}_2}{\Rightarrow }}\underset{\text{[主列|自由列|主列|自由列|b]}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& b_2?2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3?3b_1?b_2+2b_1\end{array}\right]}}& \\ & \stackrel{設b_1=1,b_2=5,b3=6}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& 1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]& \end{array}$$

$Ax=b\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{x}_p=b\\ A{x}_n=0\end{array}\Rightarrow A(x_p+x_n)=b$ ，其中 稱$x_p$為特解，$x_n$解的零空間

求特解$x_p$

令所有自由變量=0，求Ax=b中的主變量
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3=1\\ 2x_3=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=?2\\ x_3=\frac{3}{2}\end{array}$$
即特解$x_p=\left[\begin{array}{c}?2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]$

求特解$x_n$

求$A{x}_n=0$，詳見7.【線性代數】——求解Ax=0，主列和自由列
$$x_n=c\left[\begin{array}{c}?2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ ?2\\ 1\end{array}\right]$$

所有解

$$x_n=\left[\begin{array}{c}?2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}?2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ ?2\\ 1\end{array}\right]$$

2. Ax=b什么時候有解

當且僅當 b在C(A)中

3. $A_{m?n}$不同秩的Ax=b解分析

R矩陣表示A矩陣經過消元和簡化行階梯形式的矩陣。

3.1 列滿秩 r=n<m

推出$R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$,沒有自由變量，也就沒有零空間的解，那么$x=x_p$，如果解存在，解唯一。所以有0/1個解。

3.2 行滿秩 r=m<n

推出$R=\left[\begin{array}{c}I\\ F\end{array}\right]$,有自由變量n-m，有零空間的解，所以有無數個解。

3.3 r=m=n

推出$R=I$,沒有自由變量，也就沒有零空間的解，那么$x=x_p$。
解肯定存在，因為$R=I$，所以有1個解

3.4 r<m 且 r < n

推出$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$,有自由變量，有零空間的解，如果有特解，那么有無窮解，否則無解。所以有無窮解或者無解。

3.5 綜述

矩陣的秩 $r$	r=n<m	r=m<n	r=m=n	r<m,r<n
矩陣R	$\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]$	$I$	$\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$
Ax=b解的個數	0/1	無窮	1	無解或者無窮