代碼隨想錄算法訓練營第三十五天|01背包問題二維和一維（卡碼網第46題）、416分割等和子集

day35 動態規劃part03

1. 01背包問題二維卡碼網第46題

01 背包：有n件物品和一個最多能背重量為w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的價值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解將哪些物品裝入背包里物品價值總和最大。

動規五部曲分析：具體可看代碼隨想錄完整講解

（1）確定dp數組以及下標的含義

dp[i][j] 表示從下標為[0-i]的物品里任意取，放進容量為j的背包，價值總和最大是多少。

（2）確定遞推公式

不放物品i：背包容量為j，里面不放物品i的最大價值是dp[i - 1][j]。
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量為j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 為背包容量為j - weight[i]且不放物品i的最大價值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的價值），就是背包放物品i得到的最大價值

遞歸公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

（3）dp數組如何初始化

首先從dp[i][j]的定義出發，如果背包容量j為0的話，即dp[i][0]，無論是選取哪些物品，背包價值總和一定為0。

其次，狀態轉移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推導出來，那么i為0的時候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i為0，存放編號0的物品的時候，各個容量的背包所能存放的最大價值。

那么很明顯當 j < weight[0]的時候，dp[0][j] 應該是 0，因為背包容量比編號0的物品重量還小。

當j >= weight[0]時，dp[0][j] 應該是value[0]，因為背包容量放足夠放編號0物品。

for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {//其他部分不需要初始化，因為一開始已經都置為0了
dp[0][j] = value[0];
}

（4）確定遍歷順序

先遍歷物品還是先遍歷背包重量呢？

都可以！！但是先遍歷物品更好理解。

// weight數組的大小 就是物品個數
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍歷背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}

（5）舉例推導dp數組

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空間cin >> n >> bagweight;vector<int> weight(n, 0); // 存儲每件物品所占空間vector<int> value(n, 0);  // 存儲每件物品價值for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; ++j) {cin >> value[j];}// dp數組, dp[i][j]代表行李箱空間為j的情況下,從下標為[0, i]的物品里面任意取,能達到的最大價值vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 初始化, 因為需要用到dp[i - 1]的值// j < weight[0]已在上方被初始化為0// j >= weight[0]的值就初始化為value[0]for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍歷科研物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍歷行李箱容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 如果裝不下這個物品,那么就繼承dp[i - 1][j]的值else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}cout << dp[n - 1][bagweight] << endl;return 0;
}

2. 01背包問題一維

（1）確定dp數組的定義

在一維dp數組中，dp[j]表示：容量為j的背包，所背的物品價值可以最大為dp[j]。

（2）一維dp數組的遞推公式

二維dp數組的遞推公式為： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

一維dp數組，其實就上一層 dp[i-1] 這一層拷貝的到 dp[i]來。

所以在上面遞推公式的基礎上，去掉i這個維度就好。

遞推公式為：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

以下為分析：

dp[j]為容量為j的背包所背的最大價值。

dp[j]可以通過dp[j - weight[i]]推導出來，dp[j - weight[i]]表示容量為j - weight[i]的背包所背的最大價值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量為 [j - 物品i重量] 的背包加上物品i的價值。（也就是容量為j的背包，放入物品i了之后的價值即：dp[j]）

此時dp[j]有兩個選擇，一個是取自己dp[j] 相當于二維dp數組中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一個是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，畢竟是求最大價值，

所以遞歸公式為：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相對于二維dp數組的寫法，就是把dp[i][j]中i的維度去掉了。

（3）一維dp數組如何初始化

dp[j]表示：容量為j的背包，所背的物品價值可以最大為dp[j]，那么dp[0]就應該是0，因為背包容量為0所背的物品的最大價值就是0。dp數組除了下標0的位置，初始為0，其他下標都初始為0就可以了。

（4）一維dp數組遍歷順序

代碼如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍歷背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

這里大家發現和二維dp的寫法中，遍歷背包的順序是不一樣的！

二維dp遍歷的時候，背包容量是從小到大，而一維dp遍歷的時候，背包是從大到小。

為什么呢？

倒序遍歷是為了保證物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍歷了，那么物品0就會被重復加入多次！

舉一個例子：物品0的重量weight[0] = 1，價值value[0] = 15

如果正序遍歷

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此時dp[2]就已經是30了，意味著物品0，被放入了兩次，所以不能正序遍歷。

為什么倒序遍歷，就可以保證物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp數組已經都初始化為0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以從后往前循環，每次取得狀態不會和之前取得狀態重合，這樣每種物品就只取一次了。

那為什么二維dp數組遍歷的時候不用倒序呢？

因為對于二維dp，dp[i][j]都是通過上一層即dp[i - 1][j]計算而來，本層的dp[i][j]并不會被覆蓋！

再來看看兩個嵌套for循環的順序，代碼中是先遍歷物品嵌套遍歷背包容量，那可不可以先遍歷背包容量嵌套遍歷物品呢？

不可以！

因為一維dp的寫法，背包容量一定是要倒序遍歷（原因上面已經講了），如果遍歷背包容量放在上一層，那么每個dp[j]就只會放入一個物品，即：背包里只放入了一個物品。

所以一維dp數組的背包在遍歷順序上和二維其實是有很大差異的！，這一點大家一定要注意。

（5）舉例推導dp數組

// 一維dp數組實現
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 讀取 M 和 Nint M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++) {cin >> costs[i];}for (int j = 0; j < M; j++) {cin >> values[j];}// 創建一個動態規劃數組dp，初始值為0vector<int> dp(N + 1, 0);// 外層循環遍歷每個類型的研究材料for (int i = 0; i < M; ++i) {// 內層循環從 N 空間逐漸減少到當前研究材料所占空間for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {// 考慮當前研究材料選擇和不選擇的情況，選擇最大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);}}// 輸出dp[N]，即在給定 N 行李空間可以攜帶的研究材料最大價值cout << dp[N] << endl;return 0;
}

3. 416分割等和子集

思路分析

（1）問題轉化：

要將數組分成兩個和相等的子集，首先需要計算數組的總和。
如果數組總和為奇數，那么就不可能分成兩個和相等的子集，因為兩個相等的子集的和必須是偶數。
如果數組總和為偶數，我們可以將目標問題轉化為：能否在數組中找到一個子集，其和為總和的一半。

（2）動態規劃：

設定目標值為 target = sum(nums) / 2。
然后，我們要判斷是否存在一個子集，其和為 target。這實際上就是經典的 背包問題。
使用動態規劃來判斷能否通過選擇數組中的元素來達到和為 target。

動規五部曲：

1、確定 dp 數組以及下標的含義

dp[i]：表示是否存在一個子集，其和為 i。

2、確定遞推公式

遞推公式基于是否選擇當前元素來更新 dp 數組。

不選擇當前元素
- dp[j] 仍然保持原值，表示沒有選當前元素的情況。
選擇當前元素
- 如果當前背包容量 j 大于等于當前元素 nums[i]，那么可以通過選擇當前元素來更新 dp[j]。具體而言，dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]]，即：如果 dp[j - nums[i]] 為 true，說明我們可以通過之前的子集加上當前元素nums[i]，得到背包容量為 j。

3、dp 數組如何初始化

- 初始時，dp[0] = true，表示和為 0 是一定可以的（即不選任何元素的情況）。
- 其他所有 dp[j] = false，表示尚未確定是否能組成 j。

4、確定遍歷順序

為了避免重復使用元素，需要倒序遍歷背包容量 j。（類似上述一維的思路一樣）

外層遍歷物品：對于每個元素 nums[i]，我們都嘗試更新 dp 數組。
內層遍歷背包容量：背包容量從大到小進行遍歷，確保當前物品 nums[i] 只被使用一次。

遍歷順序：外層遍歷物品（nums[i]），內層遍歷背包容量 j（從大到小）。

倒序遍歷背包容量 j 是為了保證每個物品只被使用一次。

5、舉例推導dp數組

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);// 如果總和是奇數，直接返回falseif (sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;// 初始化dp數組，dp[i]表示是否可以用數組中的一些元素組成和為ivector<bool> dp(target + 1, false);dp[0] = true; // 和為0是可以通過空子集得到的// 遍歷所有的物品for (int num : nums) {// 從后往前遍歷dp數組，防止重復使用同一個元素for (int j = target; j >= num; --j) {dp[j] = dp[j] || dp[j - num];}}// 返回dp[target]，表示是否可以湊成和為target的子集return dp[target];}
};