【常微分方程講義1.1】方程的種類發展與完備

方程在數學歷史中不斷發展，逐步趨于完備。從最初的簡單代數方程到包含函數、算子甚至泛函的更復雜方程，數學家通過不斷的擴展和深化，逐漸建立起更為豐富和多元的方程類型體系。方程的種類之所以不斷演變，部分是因為解決實際問題的需要，部分是為了應對更復雜的數學結構和現象。

初學者常常對于微分方程的歸屬充滿疑惑，像是“騰空出世”，莫名其妙將導數加入了方程體系中。本文將作為方程發展歷程的介紹，以便學生可以理清微分方程在數學體系中的位置。

1. 起源：代數方程

最早的方程類型是代數方程，它是數學的基礎。在古代，代數方程通常涉及到未知數的求解，通過代數運算（如加、減、乘、除和求冪）來得到解。這類方程為數值計算奠定了基礎，代數方程的解決方法經過長期的發展，逐步形成了解決方程的一整套理論體系，包括方程的解法、解的存在性和唯一性等問題。

代數方程定義

代數方程（代數方程組）：代數方程指的是含有代數運算（加、減、乘、除、冪）的等式。例如，一元n次代數方程，它描述了一個未知數x和已知數之間的代數關系。

隨著對方程的理解深入，數學家開始探索代數方程的不同解法，如代數方程組的解法和根的理論。代數方程的解法演變為利用代數結構（如群、環、域等）解決更復雜的方程。

2. 新挑戰：超越方程出現

隨著科學和技術的進步，人們逐漸意識到自然界中的一些現象無法通過簡單的代數方程來描述。這些復雜的現象通常涉及指數增長、周期波動或對數變化等特性，因此需要使用包含超越函數(指數函數、對數函數、三角函數）的方程來建模。這些方程的解通常無法通過代數運算得到。

一個經典的超越方程的應用來自天文學。根據開普勒定律，行星的運動與其軌道和速度之間的關系可以通過包含三角函數和指數函數的方程來描述。例如，描述行星在太陽引力作用下的運動軌跡時，我們會得到類似如下的超越方程：

$r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos(\theta)}$ ，

其中，r?是行星到太陽的距離，a 是軌道的半長軸，e 是軌道的偏心率，θ 是行星的角度。這種方程涉及三角函數和指數函數，不能用代數方法直接求解。

為什么不能通過代數方法解超越方程？

1.超越函數的復雜性

直觀上，超越函數（如 $e^x, \sin(x), \ln(x)$ ）并不像代數函數那樣可以通過簡單的運算來表示。例如，指數函數 $e^x$ ?會隨著 x?的增大而快速增長，而三角函數 $\sin(x)$ 則是一個波動的函數，總是隨著 x 變化而不斷變化。這些函數的變化方式非常復雜，不能像代數函數那樣用加法、乘法等簡單方法來處理。

舉個例子，方程? $e^x = 2$ ?里， $e^x$ ?的解并不能用簡單的加減乘除方法表示出來。為了求解這個方程，我們需要用對數函數，但這個對數解并不是一個簡單的代數數，而是一個超越數，請看下文如何解釋超越數。

2.解是超越數

有些超越方程的解是“超越數”，這些數不能通過任何代數方程（有理系數的多項式方程）來表示。比如 $\pi$ ?和 e 就是超越數，因為它們不是像普通有理數那樣通過代數運算得到，而是使用極限運算獲得的。這也意味著超越方程的解通常不是簡單的數字，而是無法通過代數計算得到的復雜數值。

超越數一定是無理數嗎？

所有的超越數都是無理數，但并非所有的無理數都是超越數。這個關系可以這樣理解：

超越數：它是既不有理數也不是代數數的數。例如，π 和 e 是超越數，因為它們無法滿足任何有理數系數的多項式方程。
無理數：是指不能表示為有理數之比的數。無理數分為兩類：
代數無理數：它是無理數，但可以是某個代數方程的解。例如， $\sqrt{2}$ ? 是代數無理數，因為它是方程 $x^2 - 2 = 0$ ?的解。
超越數：它是無理數，并且不滿足任何代數方程。

所以，超越數是無理數的一種特殊類型，所有超越數都是無理數，但并不是所有無理數都是超越數。換句話說，超越數是無理數，但無理數可能是代數無理數，也可能是超越數。

3.無法使用代數公式

代數方程通常可以通過一些固定的公式來求解（比如二次方程的求根公式），而超越方程沒有類似的簡便公式。例如，方程 $\sin(x) = 0$ ?的解是 $\pi, 2\pi, \dots$ ，但我們無法通過簡單的代數步驟來列出所有解，因為它們是無窮的。

對于更復雜的超越方程，如 $e^x + \sin(x) = 0$ ，即使我們知道解存在，也無法像解代數方程那樣通過幾步簡單的代數運算得到解。

我們必須依賴數值方法，通過計算機或其他方法來近似找到解，這就是為什么Matlab等一眾數值分析軟件風靡的原因。

超越方程的出現，標志著方程解法的擴展，進入了更復雜的數學分析領域，數學家開始研究如何在這些方程中尋找解的存在性與性質。

3. 深化：函數方程

隨著科學的發展，微積分和數學分析的函數發明，人們發現許多問題無法用一個固定的數字來描述，而是需要一個規律或模式，函數就是描述這種規律的模式。為了描述這些規律，數學引入了函數方程。

函數方程之所以必要，是因為現實中的很多問題并不是單一的數值結果能夠回答的，而是需要探索整體規律。例如：

例子 1：遞歸增長

$f(x+1) = 2f(x), \quad f(0) = 1$

這個方程要求找到一個函數 f(x)f(x)f(x)，它描述了一種倍增的規律。解法為 $f(x) = 2^x$ ，這是一種通用模式，能夠描述：

細菌的繁殖：每隔一個時間單位，數量翻倍；
復利增長：本金和利息以指數形式增加。

在這個例子中，如果僅僅關注一個時刻的數值（如 $x = 3$ ?時的 $f(x) = 8$ ?），我們無法捕捉倍增的全局規律。因此，研究函數方程的意義在于找出一種全局的映射規則。

例子 2：周期性現象

函數方程還可以描述周期性現象。例如：

$f(f(x)) = \sin(x)$ .

這里，函數 $f(x)$ ?可能有多個形式滿足方程。例如，某些周期性信號的變化規律，可以通過復合函數方程來研究。如果僅把 x 作為自變量而不研究 f(x) 的性質，我們無法理解這些周期現象背后的本質。
同時，在這個方程中，函數 f(x) 同時作為未知量和自變量，描述的是函數自身的復合關系。這種結構在數學理論和工程問題中非常重要，例如加密算法和函數迭代分析。

3. 泛函方程：函數關系的進一步擴展

從單個函數到函數族

函數方程的研究可以進一步擴展到更高階的問題：泛函方程。在泛函方程中，我們的目標不再是找到一個特定的函數，而是尋找一個函數集合，使其滿足某些條件。

什么是泛函方程？

泛函方程研究的是“函數的函數”，即函數如何在更大的函數空間中交互。例如：

$\mathcal{T}[f](x) = g(x)$

這里， $\mathcal{T}$ 是一個“算子”，它作用在函數 f(x) 上，得到另一個函數 g(x)。解泛函方程的目標是找到一組函數 f(x)，使它們滿足這個算子關系。

更進一步，泛函方程作為函數方程的擴展，考慮了在更廣泛的函數空間內尋求解的可能。泛函方程的解不僅僅是某個具體的函數，而是某種滿足約束條件的函數族。泛函方程廣泛應用于物理學、經濟學等領域中，例如描述量子力學中某些算子與狀態之間關系的方程。

泛函方程：方程 $Ff = g(x)$ ，其中 $F$ ?是一個作用于函數 $f$ ?的算子， $g(x)$ 是已知的函數。這里，解是一個函數族，它們在某些條件下滿足這個方程。

4. 動態性更強的泛函方程：微分方程

隨著科學研究的深入，特別是物理學和天文學的發展，人們發現許多自然現象可以通過微分方程來描述。微分方程涉及到未知函數及其導數，廣泛應用于描述物體運動、熱傳導、電磁場等物理現象。

微分方程的發明：微分方程的理論源于牛頓和萊布尼茨等人對物理現象變化規律的研究。例如，牛頓通過第二定律引入了加速度的概念：這個方程描述了物體在受力情況下如何隨時間變化。

為什么牛頓第二定律需要引入微分方程？

雖然在初高中我們知道，牛頓的第二定律通常寫成 $F = ma$ ，這意味著物體所受的力（F）等于物體的質量（m）乘以它的加速度（a）。這是一個簡單、直接的公式，用來描述力和加速度之間的關系。然而，這個公式本身并不能完全告訴我們物體是如何隨著時間變化而運動的，特別是當我們想要預測物體未來的運動時。為了解決這個問題，我們引入了微分方程，它可以幫助我們描述物體的運動過程，特別是在復雜的情況中。下面是一些原因，解釋為什么我們需要微分方程。

復習：加速度是位置的變化率

牛頓第二定律中提到的加速度 a?是物體的位置隨時間變化的速率變化。也就是說，加速度是物體位置的“變化速度”，而位置本身是隨時間變化的。為了準確描述物體的運動，我們需要通過加速度的表達式來描述位置的變化。

在數學推導上，加速度 a?實際上是位置 $x(t)$ ?對時間 $t$ ?的二階導數（也就是說，位置變化率的變化）。簡單來說，位置是隨時間變化的，速度是位置變化的速率，而加速度是速度變化的速率。

$F = m \frac{d^2x}{dt^2}$

這里 $\frac{d^2x}{dt^2}$ ? 是位置 x 關于時間的二階導數，也就是加速度。所以，牛頓第二定律本身已經是一個描述物體運動的微分方程。

但是為什么一定需要呢？

微分方程描述動態變化

微分方程的一個重要作用是描述物體如何隨著時間變化。假設我們知道了作用在物體上的力 F，微分方程可以告訴我們物體在任何時刻的位置和速度。F = ma 是一個即時的關系，它告訴我們物體在某一時刻的加速度（即瞬時變化速率），但是要知道物體在未來某個時刻的位置和速度，我們就需要微分方程的幫助。

例如，如果力是一個隨時間變化的函數（比如空氣阻力隨物體的速度變化），我們就無法直接通過 F=ma 得到物體未來的運動狀態，這時我們必須使用微分方程來解決問題。

3. 力可能依賴于位置或速度

在許多實際的物理問題中，物體所受的力不僅與時間有關，還與物體的位置或速度有關。例如，空氣阻力是與物體的速度成正比的，摩擦力也是與物體的速度相關的。在這種情況下，我們不能簡單地使用 F=ma 來表示力，因為力的大小不是一個常數，而是一個變化的量。我們需要微分方程來表示力和運動之間的關系。

例如，如果一個物體在空氣中運動，力 F 可能不僅僅是一個常數，它可能與物體的速度 $v = \frac{dx}{dt}$ ? 有關。此時，牛頓第二定律變成：

$\frac{d^2x}{dt^2} = - \gamma \frac{dx}{dt} + F_{\text{external}}(x,t)$

這里 $\gamma$ ?是阻力系數， $F_{\text{external}}(x,t)$ ?是外部作用力。通過微分方程，我們可以準確描述這些力如何影響物體的運動。

4. 預測物體的未來位置和速度

通過求解微分方程，我們不僅能知道物體的當前狀態，還能預測它未來的運動。比如，給定初始條件（物體的初始位置和初始速度）和已知的力，我們可以通過解微分方程計算出物體在未來任何時刻的位置和速度。

這種能力在很多實際應用中非常重要，例如預測天體的運動、計算飛機的飛行軌跡、分析彈簧的振動等等。所有這些問題都需要用到微分方程來進行描述和求解。

5. 微分方程精確描述連續變化

通過3、4兩點說明，我們可以知道微分方程的優勢在于它能夠描述連續的變化過程。簡單的公式如 F=ma 很難表達連續變化的過程，而微分方程可以幫助我們詳細地描述物體如何隨時間逐漸改變它的位置和速度。例如，假設我們知道物體在某一時刻的位置和速度，微分方程能夠告訴我們物體在未來時刻的狀態，甚至能夠描述在不同時間間隔內物體的運動細節，或者是可以“預知”“確定”物體整個時間軸上的運動狀態。

5. 擴展：方程種類的完備性與高階結構

隨著數學的不斷發展，方程的種類逐漸趨于完備，數學家逐步擴展了方程的形式與應用領域。從最初的代數方程，到包含函數、算子、甚至泛函的方程類型，方程體系已經變得極其豐富。

根據未知量的類型：方程的種類按照未知量的不同可以分為數值方程（代數方程、超越方程）、函數方程（常微分方程、偏微分方程、泛函方程）以及算子方程（例如譜理論中的算子方程）。
根據方程的形式：方程還可以根據是否包含非線性關系進行分類，如線性方程和非線性方程；又如有限維方程和無限維方程，代數方程通常是有限維的，而泛函方程通常是無限維的。
根據應用領域：方程的應用領域非常廣泛。代數方程多用于數論、代數幾何等領域；微分方程用于物理、力學等動態變化的描述；偏微分方程用于描述空間中的多變量變化現象，如熱傳導、流體力學等。

通過這些分類，數學家能夠清晰地識別出不同類型的方程，并為其提供相應的解法和理論支持。

總結

方程的種類從代數方程起步，隨著科學、技術與數學理論的不斷發展，逐漸擴展到超越方程、函數方程、泛函方程以及微分方程等多個領域。每一個新的方程類型的出現，都意味著數學家們在尋找解的過程中拓展了思路，逐步完善了方程體系。如今，通過對方程種類的完備性總結，我們不僅能夠理解方程在數學中的地位，還能更好地將其應用于不同領域，解決復雜的現實問題。