笛卡爾積

任意笛卡爾積

• { A t , t ∈ T } \{A_t,t \in T\} {At?,t∈T}是一個集合族，其中T為一個非空指標集，稱 × t ∈ T A t = { a = ( φ ( t ) , t ∈ T ) ∣ ( φ ( t ) ∈ A t , ? t ∈ T } \times_{t \in T} A_t=\{a=(\varphi(t),t \in T)|(\varphi(t) \in A_t,\forall t \in T\} ×t∈T?At?={a=(φ(t),t∈T)∣(φ(t)∈At?,?t∈T}，稱為乘積空間。
  $\phi$為映射。比如2個集合
  $A_1\times A_2=\{({\beta }_1,{\beta }_2)|{\beta }_1\in A_1,{\beta }_2\in A_2\}$
  ${\beta }_1=\phi (1),{\beta }_2=\phi (2)$
  $A_1\times A_2=\{(\phi (1),\phi (2))|\phi (1)\in A_1,\phi (2)\in A_2\}$
• 設 { A t , t ∈ T } 和 { B t , t ∈ T } 設\{A_t,t \in T\}和\{B_t,t \in T\} 設{At?,t∈T}和{Bt?,t∈T}為兩族集合。
  $$\begin{gathered} 1.{\times }_{t\in T}{A}_t=??至少一個A_t=? \\ 2.所有的t\in T,A_t?B_t=>{\times }_{t\in T}{A}_t?{\times }_{t\in T}{B}_t \\ 3.如果A_t非空，{\times }_{t\in T}{A}_t?{\times }_{t\in T}{B}_t=>所有的t\in T,A_t?B_t \\ 4.({\times }_{t\in T}{A}_t)\cap ({\times }_{t\in T}{B}_t)={\times }_{t\in T}(A_t\cap B_t) \\ 5.({\times }_{t\in T}{A}_t)\cup ({\times }_{t\in T}{B}_t)={\times }_{t\in T}(A_t\cup B_t) \end{gathered}$$

投影映射

概述

• 坐標映射
  T 為非空指標集， { A t ∣ t ∈ T } 是一族集合。 π t 映射 : × t ∈ T A t → A t , ( φ ( t ) , t ∈ T ) → φ ( t ) 為 × t ∈ T A t 至 A t 的坐標映射 T為非空指標集，\{A_t|t \in T\}是一族集合。 \\\pi_t映射:\times_{t \in T}A_t \rightarrow A_t,(\varphi(t),t \in T) \rightarrow \varphi(t)為\times_{t \in T}A_t至A_t的坐標映射 T為非空指標集，{At?∣t∈T}是一族集合。πt?映射:×t∈T?At?→At?,(φ(t),t∈T)→φ(t)為×t∈T?At?至At?的坐標映射
• 投影映射
  $$\begin{gathered} ?\ne T_1?T_2?T_3，稱{\pi }_{T_1}^{T_2}:{\times }_{t\in T_2}{A}_t\to {\times }_{t\in T_1}{A}_t,(\phi (t),t\in T_2)\to (\phi (t),t\in T_1) \\ {\pi }_{T_1}={\pi }_{T_1}^{T_2} \end{gathered}$$
• 有限個集合$A_1,A_2,...,A_n$，${\pi }_i:{\times }_{j=1}^n{A}_j\to A_i,{\pi }_i(a)=a_i是第i個投影映射。a=(a_1,a_2,....,a_n)\in {\times }_{j=1}^n{A}_j$
  在測度論中，投影映射是一個重要的概念，它涉及到從乘積空間到其因子空間的映射。以下是對投影映射在測度論中的詳細解釋：

詳解一

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一、定義

設(X, Σ, μ)和(Y, Τ, ν)是兩個可測空間，而Z是它們的乘積空間，即Z = X × Y，配備有乘積σ-代數Σ×Τ（由X和Y中的可測矩形生成的最小σ-代數）。那么，從Z到X（或Y）的投影映射πX（或πY）是一個將Z中的點(x, y)映射到X中的x（或Y中的y）的函數。

二、性質

1. 可測性：在乘積可測空間中，投影映射是可測的。即，如果A是Z中的一個可測集，那么πX(A)（或πY(A)）是X（或Y）中的一個可測集。這一性質是乘積可測空間定義的一個重要結果。
2. 測度保持：在某些情況下，投影映射可以保持測度的某些性質。例如，在Fubini-Tonelli定理中，如果f是Z上的一個非負可測函數，并且μ和ν都是σ-有限測度，那么對幾乎所有的x∈X（或y∈Y），f在πX^{{-1}({x})（或πY}{-1}({y}))上的積分是定義良好的，并且積分函數在X（或Y）上是可測的。此外，對f在Z上的積分等于先對x（或y）積分再對y（或x）積分的迭代積分。
3. 截口：對于乘積空間Z中的可測集A，A在x（或y）處的截口A_x（或A_y）是Y（或X）中的一個子集，它包含所有與x（或y）配對的y（或x），使得(x, y)屬于A。截口是理解投影映射性質的重要工具。

三、應用

投影映射在測度論中有廣泛的應用，特別是在處理多維空間中的問題時。例如，在概率論中，我們經常需要處理隨機向量的分布，這時就可以利用投影映射將高維問題轉化為低維問題來處理。此外，在積分理論中，Fubini-Tonelli定理和投影映射的性質為我們提供了計算多維積分的有力工具。

四、結論

投影映射是測度論中一個重要的概念，它建立了乘積空間與其因子空間之間的聯系。通過投影映射，我們可以將多維問題轉化為低維問題來處理，從而簡化問題的復雜性。同時，投影映射的性質也為我們在多維空間中定義和計算測度、積分等提供了重要的理論基礎。

詳解二

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在測度論中，投影映射是一個重要的概念，它涉及到可測空間之間的映射關系，特別是當我們將一個乘積空間中的元素映射到其某個因子空間時。以下是對投影映射在測度論中的詳細解釋：

定義與性質

• 投影映射：對于乘積可測空間$(X_1\times X_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2)$，其中$(X_1,{\mathcal{F}}_1)$和$(X_2,{\mathcal{F}}_2)$是可測空間，投影映射${\pi }_i$（$i=1,2$）是從$X_1\times X_2$到$X_i$的映射，它將乘積空間中的元素$(x_1,x_2)$映射為其第$i$個分量，即${\pi }_1(x_1,x_2)=x_1$，${\pi }_2(x_1,x_2)=x_2$。
• 可測性：在測度論中，一個映射被稱為可測的，如果它將可測集映射為可測集。對于投影映射${\pi }_i$，一個重要的性質是它是可測的。這意味著，如果$A\in {\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2$是乘積空間中的一個可測集，那么${\pi }_i(A)$（即$A$在$X_i$上的投影）在$(X_i,{\mathcal{F}}_i)$中也是可測的。

應用與意義

• 投影的可測性：投影映射的可測性在證明乘積可測空間的性質時起著關鍵作用。例如，在證明乘積空間上的可測集滿足某種性質時，我們往往可以從可測矩形（即形如$A_1\times A_2$的集合，其中$A_1\in {\mathcal{F}}_1$，$A_2\in {\mathcal{F}}_2$）出發，利用投影的可測性來推廣到更一般的可測集。
• 測度轉移函數：在構造乘積空間上的測度時，測度轉移函數是一個重要的工具。它允許我們將一個可測空間上的測度“轉移”到乘積空間上，而投影映射的可測性則是這種轉移得以實現的基礎。

示例

考慮兩個實數空間$\mathbb{R}$上的可測空間$(\mathbb{R},{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$，其中${\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$是實數集上的Borel集（即包含所有開集和閉集的最小σ-代數）。乘積空間$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$上的可測集由Borel矩形（即形如$A\times B$的集合，其中$A,B\in {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$）生成的σ-域給出。此時，投影映射${\pi }_1$和${\pi }_2$都是可測的，因為任何Borel矩形的投影都是Borel集。

結論

在測度論中，投影映射是一個基本而重要的概念，它描述了乘積空間與其因子空間之間的映射關系。投影映射的可測性在證明乘積可測空間的性質以及構造乘積空間上的測度時起著至關重要的作用。

參考文獻

1.《測度論基礎與高等概率論》