秩序密碼-用群論分析魔方的階

三階魔方的物理基礎是由一個三維十字軸連接的 6 個中心塊，這 6 個中心塊決定了魔方的 6 種顏色朝向，構成不動的坐標系統，此外還有兩類活動塊，分別是8個角塊，12個棱塊。

魔方的每一層轉動（如 R: 右層順時針轉 90°）本質是一個三維旋轉操作，受以下物理規則約束：

軸固定原理：無論怎么轉動，6 個中心塊的相對位置永遠不變，這為復原提供了基準；
塊守恒定律：轉動不會改變角塊與棱塊的數量，只是改變它們的空間排列；
方向約束：角塊有 3 種朝向狀態，棱塊有 2 種，這種方向性構成后續算法的基礎。

????????凝視著掌中這個被徹底打亂的魔方。?鮮艷的色塊仿佛經歷了一場宇宙大爆炸，從原本規整的秩序中噴薄而出，散落在立方體的六個面上。每一次隨意的轉動，都像投入混沌池塘的石子，激起更復雜的漣漪。紅與藍毗鄰，黃與白交錯，綠與橙糾纏,一個標準的、被充分隨機化后的魔方，呈現出令人眼花繚亂、近乎絕望的混亂, 其中埋藏的可能性似乎要把宇宙吞噬。

????????當用指尖劃過魔方表面，能感受到其下蘊藏的驚人可能性。?六個面，二十六個小立方體（更準確地說，三階魔方是八個角塊和十二個棱塊，54個小面），在每一次90度或180度的旋轉中，角塊在位置與朝向上翻飛，棱塊在歸屬與方向間游移。每一個微小的“咔噠”聲，都像是打開了一扇通往新排列組合的大門。粗略一想，似乎有無窮無盡的方式可以讓這些色塊錯位：角塊有8!種位置排列，每個又有3種朝向；棱塊有12!種位置排列，每個又有2種朝向… 將這些數字粗暴地相乘，得到的將是一個遠超人類日常經驗的天文數字——519,024,039,293,878,272,000（約519千萬億億，該數量級的計量單位是垓，也就是10^20）。這仿佛是一片由旋轉構成的、深不見底的海洋，一個擁有519千萬億億個島嶼的、浩瀚無垠的“魔方宇宙”。

? ? ? 然而，這片看似無序的混沌之海，真的允許所有想象的可能狀態存在嗎？?答案是否定的。物理的約束如同無形的法則，編織著一張精密的網：角塊的朝向并非完全獨立，它們的總和必須遵循某種守恒；棱塊的翻轉亦然；更微妙的是，三階魔方角塊位置排列的奇偶性（是偶置換還是奇置換）必須與棱塊位置排列的奇偶性嚴格同步。這些隱藏在混亂表象下的鐵律，如同宇宙的基本守恒定律，無聲地宣判著：并非所有數學上的排列都是物理上可達的合法狀態。那519千萬億億組合，僅僅是數學的幻影，有大量狀態是魔方物理結構所禁止的“幽靈狀態”，那里是魔方宇宙的禁區，是任何人都不可能觸及到的狀態。

? ? ? 于是，核心問題如同迷霧中的燈塔般浮現：這個由旋轉定義的、看似擁有“無窮”可能的魔方宇宙，其真正可達的、合法的“星球”——即有效的魔方狀態——其總數，也就是數學家稱之為魔方群的“階”(Order)，究竟是多少？?如何穿透這令人窒息的復雜性，撥開混亂的迷霧，精確地計算出這個數字？直覺和蠻力在此完全失效，我們需要一把鑰匙，一把能夠解讀旋轉背后的深層秩序、洞悉約束本質的鑰匙。

? ? ? ? 這把鑰匙，早已在近兩個世紀前，由一位生命短暫如流星卻思想璀璨如恒星的天才鍛造而成。?他為我們揭示了理解“對稱性”本身的革命性語言--群論，正是他那超越時代的洞見，將為這混亂魔方宇宙的精確丈量，提供最強大的理論工具。讓我們跟隨這位早逝天才的思想之光，用群論的透鏡，去破解魔方宇宙的秩序密碼，計算出它那令人敬畏的總階數。

少年鼻祖，群論之父，開宗立派，萬神之神

? ? ? 這位改變數學和人類文明進程的人就是法國偉大數學家埃瓦里斯特-伽羅瓦，他一生的經歷是數學史上最具傳奇和悲情色彩的故事之一，他在極短時間內迸發出的思想烈度、方法的革命性和對數學發展的前瞻性思考達到了一個令人窒息的高峰，在那幾年、甚至那幾晚的爆發性思考中，伽羅瓦展現出的洞見力是同時代其他數學家所未能企及的。他看穿了問題的本質，并找到了描述這種本質的完美語言-群論，但由于個人的悲劇，他那輝煌無比的發現竟差點兒全部遺失！

????????伽羅瓦的生命僅有20年，他在十幾歲才開始深入接觸數學，卻在短短幾年內完成了革命性的工作，他的主要思想（群論、一元五次方程的可解條件，伽羅瓦對應）傳說中是在決斗前夜匆忙寫下的手稿中系統闡述的。這種在巨大壓力下迸發的創造力，如同超新星爆發般令人震撼。伽羅瓦是極致的“濃縮”天才，他的早逝本身就是一個巨大的悲劇，是人類科學史上最大遺憾。群論的思想是如此抽象和超前，以至于同時代最頂尖的數學家（如柯西、傅里葉、泊松）都無法完全理解或欣賞。伽羅瓦的手稿曾被遺失、拒絕或誤解。他的工作價值直到他去世十多年后才逐漸被認識，并在此后幾十年里深刻重塑了代數學乃至整個數學的面貌。

? ? ? ?群論徹底解決了困擾數學家幾個世紀的多項式方程根式可解問題，他不僅給出了判斷準則，更揭示了其深層原因——方程的對稱性（伽羅瓦群）的結構，伽羅瓦是看穿方程結構的第一人，也是整個數學歷史上“真正會解方程”的第一人，在他之前的包括高斯在內的所有的偉大數學家，在解方程上運用的各類技巧（靈光一閃和代數上的小花招，例如湊項，移項，消元)都變成了滿足伽羅瓦對應而不得不作的步驟，是群論框架內的自然推論。伽羅瓦是最偉大的數學家之一，不是19世紀，而是有史以來，如果不是因為早逝，他可能是最偉大的那個，沒有之一。

? ? ? ?抽象的力量是強大的，越抽象，越本質.?群論不僅僅是解決了幾個具體問題（除了五次方程可解性的充要條件，古希臘三大幾何作圖難題三等分角，化圓為方和倍立方也成了群倫的推論，結論自然到無需特別證明)，而是開創了一個全新的數學領域——抽象代數。他將關注點從具體的計算技巧轉向了方程背后隱藏的、深刻的對稱結構。

理查德-費曼數學能力極強的理論物理學家，他曾說過”我依然不明白他是如何想出它(群論)的"，啥也別說了，膜拜吧！

今天，我們用伽羅瓦的遺產-群論去解鎖二階，三階和四階魔方的階，得到群論視角下的魔方狀態總數，再與排列組合數學得到的魔方狀態數做比較，體驗群論的魅力！

魔方群的定義

魔方不僅僅是玩具，它是群論（抽象代數）的一個絕佳的、具體的物理模型。魔方的轉動操作及其組合規則完美地展示了群的定義和核心性質（封閉性、結合律、單位元、逆元），特別是非交換性（操作順序的重要性）在魔方上體現得淋漓盡致，魔方的所有合法狀態構成了魔方群，因為這些狀態和操作滿足群論的四大群公理，分別是：

封閉性：?任意兩個合法轉動操作（例如順時針旋轉右面90度，然后逆時針旋轉上面90度）組合起來，其結果等價于魔方的另一個合法轉動操作。你不可能通過合法轉動讓魔方“散架”或變成不可能的狀態。
結合律：?轉動操作的組合滿足結合律。即?(A * B) * C = A * (B * C)。無論你先組合前兩個操作還是后兩個操作，最終的整體效果是一樣的。例如，先做A（轉右面），再做B和C的組合(B*C)（先轉上面再轉前面），效果等同于先做A和B的組合(A*B)（先轉右面再轉上面），然后再做C（轉前面）。
單位元：?存在一個“什么都不做”的操作（恒等操作）。執行這個操作后，魔方的狀態保持不變。任何操作與這個恒等操作組合，結果還是該操作本身。
逆元：?對于每一個合法的轉動操作（例如順時針旋轉上面90度），都存在一個相反的轉動操作（逆時針旋轉上面90度）。執行一個操作后再執行其逆操作（或者先執行逆操作再執行原操作），其結果等同于恒等操作（魔方回到執行這兩個操作之前的狀態）.

魔方群不是阿貝爾群，也就是不滿足交換律，魔方狀態的非交換性很好說明，比如交換兩個相鄰面的操作（以順時針90度為例）順序，對比得到的是不一樣的狀態，說明交換法則對魔方操作不成立。魔方群是有限群，其階數是有限的，本文的目的就是用群論分析軟件GAP計算它的階數。

魔方群的生成元

????????在群論中生成元是指那些可以生成整個群的元素集合，魔方群的生成元是那些基本的轉動操作，通過這些操作的組合可以生成魔方所有可能的狀態。生成元通常定義為每個單層的90度順時針轉動，因為90度轉動可以生成180度轉動和逆時針轉動。

群論數學工具gap

數學工具?GAP (Groups, Algorithms, Programming)?是一個專門為計算離散代數，特別是群論而設計和優化的強大數學軟件，相當于算法領域的另一款著名數學工具matlab.

gap是一套開元工具，任意平臺上都可以安裝，在ubuntu上的安裝命令是：

sudo apt install gap-core

為了測試gap，首先可以讓GAP幫忙生成對稱群S4，對稱群和正方體的旋轉對稱同構，階為24，選擇(1,2),(2,3,4)兩個操作作為群的生成元，經過GAP計算得到階數24，和立方體的對稱性個數完美吻合。

二階魔方的階

2階魔方有六個生成元，這六個生成元分別對應六個面的順時針90度旋轉，用數字對二階魔方的24個子面進行標記，得到其六個生成元，使用群論數學工具GAP生成群，便可得到二階魔方群的階：

經過對標記塊的六個面進行90度旋轉，得到二階魔方的生成元如下：

用GAP語法表示就是：

cube2order:=Group((1, 2, 3, 4)(5, 17, 13, 9)(6, 18, 14, 10),(5, 6, 7, 8)(18, 4, 12, 24)(19, 1, 9, 21),(9, 10, 11, 12)(6, 3, 16, 21)(7, 4, 13, 22),(13, 14, 15, 16)(10, 2, 20, 22)(11, 3, 17, 23),(17, 18, 19, 20)(14, 1, 8, 23)(15, 2, 5, 24),(21, 22, 23, 24)(7, 11, 15, 19)(8, 12, 16, 20));

經過計算，得到這六個生成元生成的群的階為88179840.

這個就是最終答案了嗎？顯然不是，生成元雖然生成了這么多的二階魔方的狀態，但是這里面每個合法狀態實際上會對應24個群元素，所以群階數需要再除以24,得到二階魔方的所有合法狀態總數為3674160種。

$88179840/24 = 3674160$

除以24是因為2階魔方沒有固定參考框架（如3x3的中心塊), 所以整體旋轉被視為對稱性，立方體有24種旋轉對稱性，也就是立方體旋轉對稱群的階是24，所以需除以24,目的是把把空間對稱的狀態看成一種狀態(說白了，魔方內部坐標系下，每個子塊的相對位置是一樣的狀態群一共生成了24個，但是它們本質上對魔方來說是一個狀態)，所以24個對稱狀態中只保留一個，就是除以24.

三階魔方的階

和2階不同的是，三階魔方存在不動點，就是每個面的中心塊，不過由于中心快在整個魔方復原的過程中是保持不動的，所以不參與生成元形成，此外每個面多出來4個棱面，這四個棱面參與到了生成元形成，所以每組生成元要多出來2個四輪換。用同樣的方式對三階魔方進行標記，并計算其所有面的順時針旋轉90度得到的生成元：

得到的生成元如下,gap計算三階魔方群的階數為43252003274489856000，由于三階魔方有固定不變的中心塊，相當于由內在不固定的坐標系，不需要除以24，其合法狀態總數就是魔方群的階數43252003274489856000，大約432萬億種狀態，這是一個天文數字。

cube:=Group( 
(1,3,9,7)(10,37,28,19)(39,30,21,12)(4,2,6,8)(11,38,29,20), 
(46,48,54,52)(18,27,36,45)(25,34,43,16)(47,51,53,49)(26,35,44,17), 
(30,36,34,28)(3,43,48,21)(37,54,27,9)(33,35,31,29)(40,51,24,6), 
(16,10,12,18)(52,39,7,25)(45,1,19,46)(13,11,15,17)(42,4,22,49), 
(19,21,27,25)(12,9,34,46)(7,28,48,18)(20,24,26,22)(8,31,47,15),
(45,43,37,39)(16,54,30,1)(52,36,3,10)(44,40,38,42)(53,33,2,13)
);

四階魔方的階

四階魔方是最麻煩的，其生成元不止6個，需要明確定義 12 個生成元，對應 3 個軸上各 4 個獨立層的 90° 順時針轉動。每個生成元表示為魔方 96 個外部小面上的一個置換。理由如下：

在四階魔方中，外層轉動（如U、D、F、B、L、R）只能影響外層塊（如角塊和外層邊塊），但無法影響內層塊。
內層轉動是必要的，因為它們專門移動內層塊。如果沒有這些內層轉動，無法生成所有可能的魔方狀態。
這12個生成元是獨立的，且足以生成整個四階魔方群（即所有可達狀態）。盡管存在一些群論約束（如奇偶性約束），但這些生成元通過組合可以覆蓋所有有效狀態。

三階魔方（3x3x3）只有6個生成元（每個面一個90度轉動），因為它的中心塊相對固定，且內層轉動可以通過外層轉動組合生成。
四階魔方是偶階魔方，中心塊不固定，因此需要額外的內層轉動生成元。最小生成元集就是這12個單層90度轉動，無法進一步減少，因為每個層對應獨立的塊移動。

四階魔方有3個空間軸（x軸：左右方向，y軸：上下方向，z軸：前后方向），每個軸上有4個獨立的層，可以分別轉動，例如，在上下軸（U-D軸）上：

層4：底層（對應D面轉動）
層3：下數第二層（內層）
層2：上數第二層（內層）
層1：頂層（對應U面轉動）
類似地，前后軸（F-B軸）和左右軸（L-R軸）也各有4個層。

因此，四階魔方總生成元數量為：3軸 × 4層/軸 = 12個，下圖展示了其6個外立面的90度順時針旋轉，另外中間層（兩層）在三個方向上的四輪換也可以從下圖中觀察出來。

得到的12個生成元如下：

cube:=Group((1, 4, 16, 13)(17,65, 49, 33)(68, 52, 36, 20)(5, 3, 12, 14)(18,66, 50, 34)(9, 2, 8, 15)(19, 67, 51, 35)(6,7, 11, 10), (81,84, 96, 93)(32, 48, 64, 80)(45, 61, 77, 29)(85, 83, 92, 94)(31, 47, 63, 79)(89,82, 88,95)(30, 46, 62, 78)(86,87,91,90), (52, 64, 61, 49)(4, 77, 84, 36)(65, 96, 48, 16)(51, 60,62,53)(8,73,88, 40)(50, 56, 63, 57)(12, 69, 92, 44)(55, 59, 58, 54), (29,17, 20, 32)(93, 68, 13, 45)(80, 1, 33, 81)(30, 21, 19, 28)(89,72, 9, 41)(31, 25, 18, 24)(85, 76, 5, 37)(26, 22, 23, 27), (80, 77, 65, 68)(29, 96, 52, 1)(93, 64, 4, 17)(76, 78, 69, 67)(25, 95, 56, 2)(72, 79, 73, 66)(21, 94, 60, 3)(75, 74, 70,71), (33, 36, 48, 45)(20, 16, 61, 81)(13, 49, 84, 32)(37, 35, 44, 46)(24, 15, 57,82)(41, 34, 40, 47)(28, 14, 53, 83)(38,39,43, 42),(82, 34, 2, 79)(86, 38, 6, 75)(90, 42, 10, 71)(94, 46, 14,67),(83, 35, 3, 78)(87,39,7,74)(91,43,11, 70)(95,47,15,66),(24,40,56,72)(23, 39,55,71)(22,38,54,70)(21,37,53,69),(28,44,60,76)(27,43,59,75)(26,42,58,74)(25,41,57,73),(18,8,63,89)(22,7,59,90)(26,6,55,91)(30,5,51,92),(19,12,62,85)(23,11,58,86)(27,10,54,87)(31,9,50,88));

得到其階數16972688908618238933770849245964147960401887232000000000

因為同是偶數階魔方，需要和二階魔方一樣，需要處以24排除掉空間對稱性，此外，中心塊被分成了六組，每組四個中心塊是組內不可區分的(可以看成是嵌入了一個小的二階魔方），每個面一共有4！=24種，一共6個面，所以是 4!^6種，另外，從網上得到的信息，四階魔方的轉動（面轉動/層轉動）只能實現中心塊的偶置換，這意味著一半的排列在物理上無法實現，因此，我們需要將上一步的結果再除以2。所以需要在16972688908618238933770849245964147960401887232000000000基礎上，除以：

所以得到四階魔方的合法狀態數為：7401196841564901869874093974498574336000000000

四階魔方有效狀態完整的計算公式為：

總結

????????當我們轉動魔方時，指尖下演繹的不僅是顏色的變換，更是一部濃縮的科學史詩 —— 從機械咬合到群論結構，從算法優化到拓撲變換，這個六面方塊以玩具的形態，承載著人類對秩序與混沌、有限與無限的永恒探索。正如數學家戴森所言："魔方是物理世界的數學隱喻，每一次復原都是對宇宙規律的一次致敬".

????????人類對代數方程和三大古典幾何作圖難題的研究最終綻放出了群論之花，伽羅瓦的開創性工作被公認為超越了他的那個時代，群論也被數學專業的同學一致認為是數學中最美麗，最深奧的領域。群論完成了對數學的進一步抽象，將看上去毫不相關的問題統一到了一起，展現了它們的內在聯系，得出了讓人無比驚訝的結論，解魔方和解方程，從抽象結構上看它竟然是一回事！魔方的合法狀態對應一個有限群，也一定存在和這個有限群對應的一系列方程。事實上，數學家已經給出了以魔方群做為伽羅瓦群的次數大概在24和48次之間。因為顯式構造魔方群的伽羅瓦擴張極度復雜，目前僅僅得到了一個大概范圍。