1.概念介紹

1.1 樣條曲線的來源

樣條的英語單詞spline來源于可變形的樣條工具，那是一種在造船和工程制圖時用來畫出光滑形狀的工具：富有彈性的均勻細木條/金屬條/有機玻璃條，它圍繞著按指定位置放置的重物或者壓鐵做彈性彎曲，以獲得所需要的曲線，如下圖所示。在計算機科學的計算機輔助設計和計算機圖形學中，樣條通常是指分段定義的多項式參數曲線。

1.2 非均勻的含義

節點矢量分布不是均勻/準均勻的

1.3 節點重復度

樣條曲線按節點矢量中節點的分布情況不同。可以劃分為四種類型(假設曲線的次數為k，即：degree = k)。注意所有的節點矢量都應該滿足：節點序列非遞減。

1.4 有理的含義

指的是NURBS曲線是用有理多項式形式表達式來定義。有理函數是通過多項式的加減乘除得到的函數。在數學中，理性函數是可以由有理分數定義的任何函數，即代數分數，使得分子和分母都是多項式。

2.樣條函數分類

2.1 均勻B樣條曲線

節點矢量中節點沿參數方向均勻等距分布且重復度均為1，所有節點區間長度

? 2.2 準均勻B樣條曲線

其節點矢量中端節點具有重復度k+1，所有內節點均勻分布且重復度均為1。

就定義了一個二次(k=2)準均勻B樣條基函數。

??? 2.3 分段Bézier曲線

?? 2.4 非均勻B樣條曲線

對于端節點重復度為k+1的曲線，必定插值于控制多邊形的首尾控制頂點。GGP中的NURBS曲線都是該類型的曲線。

2.5 Bézier曲線

一條n次的Bézier曲線可以表示為：

將Bézier曲線方程展開：

當參數u從0變化到1，則得到如下所示的曲線。并且可以看出，Bézier曲線上的一點和所有控制頂點都有關系，移動任何一個控制頂點都會使曲線發生變化。這一點和之后講的B樣條曲線和NURBS曲線不同，這兩者具有局部修改性，即：修改任意一個控制頂點，只會影響與該控制頂點相關部分的曲線形狀。

2.6 有理Bézier曲線

為什么要用有理曲線：

盡管多項式曲線具有很多優點，但是又很多重要的曲線：如圓/橢圓/雙曲線(二次曲線)無法精確地用多項式表示。所有二次曲線均可以用有理函數(即兩個多項式相除)表示。為了統一表達，需要引入有理表示。

n次有理Bézier曲線的定義為：

2.7 B樣條曲線

為什么要使用分段多項式參數曲線

B樣條基函數定義：

是有理基函數。它和B樣條基函數有相似的性質(參考B樣條基函數的性質)。同樣，NURBS曲線和B樣條曲線有相似的性質(參考B樣條曲線的性質)。

B樣條基函數有多種定義方式，這里給出德布爾(de Boor)和考克斯(Cox)的遞推定義公式。B樣條基函數是定義在被稱為節點矢量的非遞減參數序列上的函數。

B樣條曲線：

p次B樣條曲線的定義為：

2.8 非均勻有理B樣條曲線(NURBS)

一條p次NURBS曲線定義為：

NURBS曲線/B樣條曲線/Bézier曲線的關系：

如果NURBS曲線中所有權因子均為1，那么這條NURBS退化為B樣條曲線。如果B樣條曲線只有一段，并且節點矢量(只有一段，只存在兩個不同的節點值)均為p+1重。那么這條B樣條曲線就是Bézier曲線。

3.樣條曲面

3.1 張量積曲面

曲線C(u)是單參數的矢量函數(一元函數)，它是直線段到三維空間的映射。曲面是關于兩個參數u和v的矢量函數(二元函數)。它表示由uv平面上的二維區域R到三維空間的映射。因此曲面可以表示為S(u,v) = ((x(u,v), y(u,v), z(u,v)),uv屬于R。有多種表示曲面的形式，在幾何造型中應用最廣泛的是張量積曲面。

張量積的方法基本上是在兩個方向上均采用曲線的處理方式，它也采用基函數和對應幾何系數(控制頂點)的乘積的累加和的形式表示曲面。曲面的基函數是u，v的二元函數，它是由關于u的一元基函數和關于v的一元基函數的乘積來構造。幾何系數(在拓撲上)被安排為兩個方向的n*m的網格。因此張量積曲面具有如下形式：

3.2 B樣條曲面

B樣條曲面由兩個方向上的控制網格、兩個節點矢量和兩個單變量的B樣條基函數的乘積來定義：

3.3 NURBS曲面

一張在u方向為p次，在v方向為q次的NURBS曲面可以表示為：

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