維納運動（Wiener Process），也稱為標準布朗運動，是一種重要的隨機過程，廣泛應用于數學、物理學和金融學等領域。它是一個連續時間的隨機過程，具有一些特殊的性質，使其成為描述隨機動態系統的經典模型。維納運動以奧地利數學家諾伯特·維納（Norbert Wiener）的名字命名。

維納運動的定義

維納運動 $W(t)$ 是一個具有下列性質的隨機過程：

1. 初始條件：$W(0)=0$。
2. 獨立增量：對于任意的 $0\le t_1<t_2<?<t_n$，增量 $W(t_k)?W(t_{k?1})$是相互獨立的。
3. 正態增量：對于任意 $s<t$，增量 $W(t)?W(s)$服從均值為 0、方差為 $t?s$ 的正態分布，即$W(t)?W(s)～N(0,t?s)$。
4. 連續路徑：函數 $t?W(t)$幾乎處處是連續的。

數學表示

維納運動的數學表示為：

$$W(t)～N(0,t)$$

這意味著對于任意時間 $t$，維納運動 $W(t)$ 服從均值為 0、方差為 $t$的正態分布。

性質

1. 獨立增量：維納運動在不同時間段的增量相互獨立。
2. 正態分布：增量 ( W(t) - W(s) ) 服從正態分布，均值為 0，方差為 ( t - s )。
3. 平穩增量：增量的分布只與時間間隔的長度有關，而與具體時間無關。
4. 連續性：維納運動的路徑幾乎處處連續，但幾乎處處不可微。

應用

維納運動在多個領域有廣泛應用：

1. 金融數學：維納運動是Black-Scholes期權定價模型的基礎，用于建模股票價格和其他金融資產。
2. 物理：用于描述微粒在流體中的隨機運動，經典的布朗運動即是維納運動的物理模型。
3. 生物：用于建模生物體內的分子運動。
4. 工程：用于建模隨機信號和噪聲。

示例

假設我們有一個維納運動 $W(t)$。在時間$t=0$ 時， $W(0)=0$。對于任意時間$t$，我們可以計算維納運動的值 $W(t)$，例如：

• $W(1)～N(0,1)$
• $W(2)～N(0,2)$
• 增量 $W(2)?W(1)～N(0,1)$，且與 $W(1)$ 獨立。

這些性質使得維納運動在描述隨機動態系統時具有很大的靈活性和實用性。

結論

維納運動是一個基本的隨機過程模型，因其獨特的性質和廣泛的應用而備受關注。它不僅是理論研究的重要工具，也是解決實際問題的有力工具。掌握維納運動的基本概念和性質，對于深入理解隨機過程以及相關領域的應用具有重要意義。