模擬集成電路(3)----單級放大器（共源極）

放大是模擬電路的基本功能

大多數自然模擬信號太小而無法處理
需要足夠的信噪比

理想的放大器

線性：無限的幅度和頻率范圍
輸入阻抗無限大
輸出阻抗無限小

共源放大器

共源放大器就是將源極接AC ground。

一般我們對三點進行分析：

直流擺幅有多大（飽和區）
小信號的增益
輸入輸出的阻抗

電阻負載

大信號分析

$V_{in}<V_{TH},\mathrm{~cut~off}$

$V_{out}=V_{DD}$

$V_{in}-V_{TH}\leq V_{out,}\text{saturation}$ (一般只考慮飽和區)

$\begin{aligned}&V_{out}=V_{DD}-I_{d}\cdot R_{D}\\&=V_{DD}-\frac{\mu_{n}C_{ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{in}-V_{TH})^{2}\cdot R_{D}\end{aligned}$

$V_{in}-V_{TH}>V_{out,}\text{triode}$

小信號增益

大信號的斜率就是小信號的增益
$V_{out}=V_{DD}-\frac{\mu_{n}C_{ox}}{2}\frac{W}{L}\left(V_{in}-V_{TH}\right)^{2}\cdot R_{D}$

$A_{v}=\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}=-\boxed{\mu_{n}C_{ox}\frac{W}{L}(V_{in}-V_{TH})}\cdot R_{D}$

框出的部分即為跨導
$A_v=\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}=-\boxed{g_m}\cdot R_D$
發現，不同的 $V_{in}$ 的值會影響增益的值，

小信號等效電路

$\begin{cases} \begin{aligned}&\nu_{out}=-i_{d}R_{D}\\&i_{d}=g_{m}\nu_{in}\end{aligned} \end{cases}$

$A_{\nu}=\frac{\nu_{out}}{\nu_{in}}=-g_{m}R_{D}$

考慮溝道長度調制效應

$\begin{cases} \begin{aligned}&\nu_{out}=-i_{d}(R_{D}\parallel r_{o})\\&i_{d}=g_{m}\nu_{in}\end{aligned} \end{cases}$
根據常識有 $R_D \ll r_o$
$\begin{aligned}A_{\nu}&=-g_{m}\cdot(R_{D}\parallel r_{o})\\&\approx-g_{m}\cdot R_{D}\end{aligned}$

輸入輸出阻抗

$r_{in}=\frac{\nu_{in}}{i_{in}}=\infty$

$r_{out}=r_{o}\parallel R_{D}\approx R_{D}$

$V_{\mathrm{DS}}=V_{\mathrm{in}1}-V_{\mathrm{TH}}$

$V_{\mathrm{in1}}-V_{\mathrm{TH}}=V_{\mathrm{DD}}-\frac{\mu_{\mathrm{n}}C_{\mathrm{ox}}}{2}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{in1}}-V_{\mathrm{TH}})^{2}\cdot R_{\mathrm{D}}$

可以得到 $V_{in1}$ 是 $R_D$ 的一個函數。

$R_D$ 越大會導致 $V_{in1}$ 越小

二極管接法負載

在M1和M2的電流是一樣的，于是我們可以列出如下等式：

$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\mu_{n}C_{ox}\left(\frac{W}{L}\right)_{1}\left(V_{in}-V_{TH1}\right)^{2}\\&=\frac{1}{2}\mu_{n}C_{ox}\left(\frac{W}{L}\right)_{2}\left(V_{DD}-V_{out}-V_{TH2}\right)^{2}\end{aligned}$

$\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_{1}}(V_{in}-V_{TH1})=\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_{2}}(V_{DD}-V_{out}-V_{TH2})$

可得 $V_{in}$ 和 $V_{out}$ 幾乎是一個線性關系，如果兩個晶體管的 $V_{TH}$ 不變，那么可以認作是線性關系。

由于有電容的存在，所以 $V_{out}$ 并不是直接變大。

大信號分析

小信號增益

$\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_{1}}(V_{in}-V_{TH1})=\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_{2}}(V_{DD}-V_{out}-V_{TH2})$

$\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_1}=\sqrt{\left(\frac{W}{L}\right)_2}(-\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}-\boxed{ \frac{\partial V_{TH2}}{\partial V_{in}}})$

框住的為 $M_2$ 的體效應
$\frac{\partial V_{TH2}}{\partial V_{in}}=\frac{\partial V_{TH2}}{\partial V_{out}}\cdot\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}=\eta\cdot\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}$
得到增益：
$A_{\nu}=\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}}=-\sqrt{\frac{\left(W/L\right)_{1}}{\left(W/L\right)_{2}}}\cdot\frac{1}{1+\eta}$

小信號模型

小信號模型增益

$\begin{aligned}&i_{x}=v_{x}/r_{o}+g_{m}v_{1}\\&v_{1}=v_{x}\end{aligned}\biggr\}\to r_{eq}=\frac{v_{x}}{i_{x}}=r_{o}\parallel\frac{1}{g_{m}}\approx\frac{1}{g_{m}}$

考慮體效應

$i_x=\frac{v_x}{r_o}+(g_{m2}+g_{mb2})v_x$

$r_{eq}=\frac{v_{x}}{i_{x}}=r_{o}\parallel\frac{1}{g_{m2}+g_{mb2}}\approx\frac{1}{g_{m2}+g_{mb2}}=\frac{1}{(1+\eta)g_{m2}}$

用小信號的方法計算增益

$A_v=-g_{m1}\cdot(r_{eq}\parallel r_{o1})\approx-g_{m1}\cdot r_{eq}$

$A_{v}=-\frac{g_{m1}}{g_{m2}}\cdot\frac{1}{1+\eta}$

對于PMOS

$A_{v}=-\frac{g_{m1}}{g_{m2}}\\A_{v}=-\sqrt{\frac{\mu_{n}(W/L)_{1}}{\mu_{p}(W/L)_{2}}}$

輸入輸出電阻

$r_{in}=\infty$

$\begin{aligned}r_{out}&=r_{o1}\parallel r_{o2}\parallel\frac{1}{g_{m2}(1+\eta)}\\&\approx\frac{1}{g_{m2}(1+\eta)}\end{aligned}$

$r_{in}=\infty$

$\begin{aligned}r_{out}&=r_{o1}\parallel r_{o2}\parallel\frac{1}{g_{m2}}\\&\approx\frac{1}{g_{m2}}\end{aligned}$

電流源負載

一般我們的電流源會用mos管實現，例如pmos

如下是pmos作電流源負載：

M1小信號模型如下：

所以總的小信號模型就是在 $r_{o1}$ 并上 $r_{o2}$
$A_{v}=-g_{m}\cdot(r_{o1}\parallel r_{o2})\\r_{in}=\infty\quad r_{out}=r_{o1}\parallel r_{o2}$

電流源負載和電阻負載進行對比：

所以電流源負載可實現小電流實現大增益。

通用的CS分析方法

$v_{in}\xrightarrow{i_{d}=g_{m}v_{in}}_{v\to i}\to i_{d}\xrightarrow{v_{out}=-i_{d}r_{out}}_{i\to v}\nu_{out}$

$v_{out}=-i_{d}r_{out}=-g_{m}v_{in}r_{out}\\A_{v}=v_{out}/v_{in}=-g_{m}r_{out}$

$r_{out}=r_{O}\parallel r_{Load}$

有源負載的共源極

$\frac{v_{\mathrm{out}}}{v_{\mathrm{in}}}=-(g_{\mathrm{ml}}+g_{\mathrm{m2}})(r_{\mathrm{ol}}\parallel r_{\mathrm{o2}})$

帶源極負反饋的共源級

$\lambda=\gamma=0$
$\begin{aligned} I_{d}& =\frac{1}{2}\mu_{n}C_{ox}\frac{W}{L}\big(V_{gs}-V_{TH}\big)^{2} \\ &=\frac12\mu_nC_{ox}\frac WL(V_{in}-R_SI_d-V_{TH})^2 \end{aligned}$
等效跨導如下：
$G_m=\frac{\partial I_d}{\partial V_{in}}$

$G_{m}=\frac{\partial I_{d}}{\partial V_{in}}=\boxed{\mu_{n}C_{ox}\frac{W}{L}(V_{in}-R_{S}I_{d}-V_{TH})}(1-R_{S}G_{m})$

框住的部分是 $g_m$
$G_{m}=g_{m}(1-R_{S}G_{m})\longrightarrow \quad G_{m}=\frac{g_{m}}{1+g_{m}R_{S}}$

$A_{\nu}=-G_{m}R_{D}=-\frac{g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{S}}$

$\mathrm{If~}R_s\text{ is large enough }\to G_m{\approx}1/R_s,A_v{=}R_D/R_s$

小信號分析

$v_{1}=v_{in}-v_{x}\quad\nu_{x}=-v_{bs}=R_{S}i_{out}$

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