碳化硅外延層厚度的確定

碳化硅作為第三代半導體材料，因其優越的綜合性能而備受關注，其中外延層厚度是影響器件性能的關鍵參數。為此，本文圍繞碳化硅外延層厚度的精確測量建立了一系列模型與算法，并在實驗數據中進行了驗證。

針對問題1，構建了動態折射率干涉模型，將Sellmeier色散公式與Drude載流子效應耦合，刻畫折射率隨波長和載流子濃度的變化規律。在修正光程差、相位差及反射率公式的基礎上，推導出厚度解析表達式，并利用非線性最小二乘擬合方法實現高精度參數提取。

針對問題2，提出增強型傅里葉變換分析算法，結合漢寧窗與零填充技術抑制頻譜泄漏，采用多波段分析與加權平均策略，有效提升了厚度計算的穩健性與準確性。通過對實測光譜數據的處理與不確定度評估，驗證了方法的可靠性。

針對問題3，基于Fabry–Pérot理論建立多光束干涉分析框架，提出包括反射率、精細度、對比度和干涉峰數量在內的多參數判據，辨識多光束干涉效應。進一步通過多方法融合計算與動態折射率校正，消除多次反射帶來的系統誤差，提高復雜干涉條件下的測厚精度。

綜上，本文提出的模型與算法不僅實現了碳化硅外延層厚度的高精度測量，還具備良好的適應性與推廣價值，為相關半導體材料的無損檢測提供了理論與技術支持。

關鍵詞：碳化硅外延層；厚度測量；傅里葉變換紅外光譜；動態折射率；多光束干涉；光譜分析

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• 問題重述
  1. 問題背景

碳化硅作為一種新興的第三代半導體材料，以其優越的綜合性能表現正在受到越來越多的關注。碳化硅外延層的厚度是外延材料的關鍵參數之一，對器件性能有重要影響。因此， 制定一套科學、準確、可靠的碳化硅外延層厚度測試標準顯得尤為重要。

紅外干涉法是外延層厚度測量的無損傷測量方法，其工作原理是，外延層與襯底因摻雜載流子濃度的不同而有不同的折射率，紅外光入射到外延層后，一部分從外延層表面反射出來，另一部分從襯底表面反射回來（圖 1），這兩束光在一定條件下會產生干涉條紋。可根據紅外光譜的波長、外延層的折射率和紅外光的入射角等參數確定外延層的厚度。

通常外延層的折射率不是常數，它與摻雜載流子的濃度、紅外光譜的波長等參數有關。

1. 1. 問題回顧與分析

問題回顧：

問題1：如果考慮外延層和襯底界面只有一次反射、透射所產生的干涉條紋的情形，建立確定外延層厚度的數學模型。

問題2：請問題 1 的根據數學模型，設計確定外延層厚度的算法。對附件 1 和附件 2 提供的碳化硅晶圓片的光譜實測數據，給出計算結果，并分析結果的可靠性。

問題3：光波可以在外延層界面和襯底界面產生多次反射和透射（圖2），從而產生多光束干涉。請推導產生多光束干涉的必要條件，以及多光束干涉對外延層厚度計算精度可能產生的影響。

請根據多光束干涉的必要條件，分析附件 3 和附件 4 提供的硅晶圓片的測試結果是否出現多光束干涉，給出確定硅外延層厚度計算的數學模型和算法，以及相應的計算結果。

如果你們認為，多光束干涉也會出現在碳化硅晶圓片的測試結果（附件 1 和附件 2）中，從而影響到碳化硅外延層厚度計算的精度，請設法消除其影響，并給出消除影響后的計算結果。

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問題分析：

該問題綜合了光學理論、數值分析、優化算法等多個領域的知識，需要系統性的分析和處理方法。這三個題目都圍繞著利用光學反射率數據估算碳化硅外延層的厚度展開。第一個問題主要通過修正的雙光束干涉模型，根據反射率數據擬合干涉曲線來計算厚度，并結合光學常數進行修正。第二個問題處理實測數據，通過改進的數據預處理、異常值檢測、基線校正等方法優化數據質量，使用極值法和干涉模型分別進行厚度計算，并提供誤差分析。第三個問題則是通過多角度測量對比，綜合不同入射角的數據，計算最終厚度并評估測量一致性和不確定度，從而提高結果的可靠性。

• 模型假設

為了方便模型的建立與模型的可行性，我們這里首先對模型提出一些假設，使得模型更加完備，預測的結果更加合理。

1. 數據真實性假設：附件提供的實驗數據（包括波數和反射率）真實、準確，且測量系統誤差在可接受范圍內。
2. 界面平行性假設：外延層與襯底之間的界面為理想平行平面，不存在傾斜或彎曲。
3. 材料均勻性假設：外延層和襯底的材料光學性質（如折射率）在測量區域內均勻分布。
4. 單色光與相干性假設：入射紅外光為單色光，且具有良好的時間與空間相干性。
5. 垂直入射近似假設：雖為斜入射，但在推導中仍使用等效垂直入射模型，并通過引入余弦項修正入射角影響。
6. 無吸收假設：在紅外波段，外延層與襯底對光的吸收可忽略，僅考慮反射與透射。
7. 折射率緩變假設：外延層折射率隨波長變化緩慢，可用Cauchy色散模型或常數近似。