一、PCA是什么？

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是機器學習中最常用的降維技術之一，它通過線性變換將高維數據投影到低維空間，同時保留數據的最重要特征。PCA由卡爾·皮爾遜于1901年發明，如今廣泛應用于數據可視化、特征提取和噪聲過濾等領域。

二、PCA的數學原理

1.1 向量與內積

PCA的核心建立在向量運算基礎上。給定兩個n維向量：

它們的??內積??定義為：

A?B=a1?b1?+a2?b2?+?+an?bn?=∣A∣∣B∣cos(θ)

其中θ是兩向量夾角，|A|表示向量模長：

幾何意義??：當|B|=1時，A·B表示A在B方向上的投影長度。

1.2 基與基變換

在n維空間中，??基??是一組線性無關的向量，任何向量都可表示為基的線性組合。標準正交基滿足：

• 每個基向量模長為1
• 任意兩個不同基向量正交（內積為0）

??基變換公式??：設舊基為e1?,e2?,...,en?，新基為p1?,p2?,...,pn?，向量v在新基下的坐標為：

其中P的行向量由新基向量組成。

2.1 優化目標

給定m個n維數據點X=[x1?,x2?,...,xm?]，PCA尋找k維(k<n)子空間，使得：

1.?最大方差準則??：投影后數據方差最大化

? ? ? ? ? ? ??

2.最小重構誤差??：重構數據與原數據誤差最小化

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這兩個目標實際上是等價的。

2.2 協方差矩陣

數據經過中心化處理后（均值為0），協方差矩陣為：

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其元素Cij?表示第i維和第j維特征的協方差：

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2.3 特征值分解

PCA的關鍵是對協方差矩陣C進行特征值分解：

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其中：

• ?

  Λ是對角矩陣，對角元素λ? ≥ λ? ≥ ... ≥ λ?為特征值

• ?

  P的列向量是對應的特征向量，構成新的正交基

??方差解釋??：第i個主成分的方差等于λ?，總方差為∑i=1n?λi?

2.4 降維過程

選擇前k個最大特征值對應的特征向量組成投影矩陣Pk?，降維數據：

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重構數據：

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3. PCA算法步驟

3.1 理論步驟

1. 數據標準化??：每維特征減去均值

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2.計算協方差矩陣??：

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3.特征值分解??：

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4.??選擇主成分??：按特征值從大到小排序，選擇前k個

5.??數據投影??：

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3.2 數值穩定性考慮

實際計算中，常使用??奇異值分解(SVD)??代替特征值分解：

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此時：

右奇異矩陣V的列向量即為主成分方向

奇異值σ?與特征值關系：λi?=σi2?/m

三、PCA代碼

1. PCA的Python實現

1.1 數據準備

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt# 加載鳶尾花數據集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target# 數據標準化
X_centered = X - X.mean(axis=0)

1.2 使用scikit-learn實現PCA

from sklearn.decomposition import PCApca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)print("解釋方差比:", pca.explained_variance_ratio_)
print("累計解釋方差:", np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))

2.項目實戰

. 項目概述

本項目使用PCA(主成分分析)對鳶尾花數據集進行降維處理，然后使用邏輯回歸進行分類，并比較降維前后的分類效果。

2. 代碼實現與分析

2.1 數據準備與PCA降維

from sklearn.decomposition import PCA
import pandas as pd# 數據讀取
data = pd.read_excel(".\hua.xlsx")# 數據劃分
X = data.iloc[:,:-1]  # 特征
y = data.iloc[:,-1]   # 標簽# PCA實例化與訓練
pca = PCA(n_components=0.90)  # 保留90%的方差
pca.fit(X)  # 訓練PCA模型# 輸出PCA結果
print('特征所占百分比:{}'.format(sum(pca.explained_variance_ratio_)))
print(pca.explained_variance_ratio_) # 數據降維
new_x = pca.transform(X)
print('PCA降維后數據:')
print(new_x)

2.2 數據分割與模型訓練

from sklearn.model_selection import train_test_split# 數據分割
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(new_x, y, test_size=0.2, random_state=0)# 邏輯回歸模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
classifier = LogisticRegression()
classifier.fit(x_train, y_train)# 預測
train_pred = classifier.predict(x_train)
test_pred = classifier.predict(x_test)print("訓練集預測結果:", train_pred)
print("測試集預測結果:", test_pred)

2.3 評估指標

from sklearn.metrics import classification_report# 訓練集評估
print("訓練集分類報告:")
print(classification_report(y_train, train_pred))# 測試集評估
print("測試集分類報告:")
print(classification_report(y_test, test_pred))

3. PCA原理回顧

PCA(主成分分析)是一種常用的降維方法，其核心思想是通過線性變換將高維數據投影到低維空間，同時保留盡可能多的原始數據信息。

3.1 PCA關鍵步驟

1.??數據標準化??：將每個特征減去其均值

2.??計算協方差矩陣??：反映特征間的相關性

3.??特征值分解??：獲取特征值和特征向量

4.?選擇主成分??：按特征值大小排序，選擇前k個

5.??數據轉換??：將原始數據投影到主成分空間

3.2 數學原理

PCA的核心數學操作是協方差矩陣的特征分解：

通過找到矩陣P使得：

是一個對角矩陣，且對角元素按從大到小排列。

4. 結果分析與比較

4.1 降維前后模型性能比較

我們可以比較使用PCA降維前后模型的性能差異：

# 不降維的模型
x_train_raw, x_test_raw, y_train_raw, y_test_raw = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)classifier_raw = LogisticRegression()
classifier_raw.fit(x_train_raw, y_train_raw)raw_train_pred = classifier_raw.predict(x_train_raw)
raw_test_pred = classifier_raw.predict(x_test_raw)print("原始數據訓練集分類報告:")
print(classification_report(y_train_raw, raw_train_pred))
print("原始數據測試集分類報告:")
print(classification_report(y_test_raw, raw_test_pred))

4.2 分析結論

1. ?降維效果??：PCA可以有效減少特征維度，同時保留大部分信息

2. 模型性能??：對于不同數據集，PCA可能提高或降低模型性能

   • 大數據集：PCA可以提高計算效率，可能提升性能

   • 小數據集：PCA可能丟失重要信息，降低性能

3. ??實際應用??：需要根據具體數據集和任務需求決定是否使用PCA