一.矩陣的定義
MATLAB 以矩陣作為數據操作的基本單位，這使得矩陣運算變得非常簡捷、方便、高效。矩陣是由m*n個數q(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，排成的m行n列數表，記成
稱為 mxn 矩陣，也可以記成aij或Am*n。其中,i表示行數,j表示列數。若 m=n，則該矩陣為n階矩陣(n階方陣)。
由有限個向量所組成的向量組可以構成矩陣，如果A=(aij)是mxn矩陣,那么A有m個n維行向量;有n個m維列向量。
矩陣的生成主要有直接輸入法、M 文件生成法和文本文件生成法等。?
二.MATLAB中矩陣的創建
1.按行直接輸入? ??
在鍵盤上直接按行方式輸入矩陣是最方便、最常用的創建數值矩陣的方法，尤其適合較小的簡單矩陣。在用此方法創建矩陣時，應當注意以下幾點。
①輸入矩陣時要以“[ ]”為其標識符號，矩陣的所有元素必須都在括號內。
②矩陣同行元素之間由空格(個數不限)或逗號分隔，行與行之間用分號或回車鍵分隔。
③矩陣大小不需要預先定義。
④矩陣元素可以是運算表達式。
⑤若“[ ]”中無元素，表示空矩陣。
⑥如果不想顯示中間結果，可以用“ ；”結束。
>> a=[15 15 15;15 15 15;15 15 15]a =15 15 1515 15 1515 15 15>> [[1 2 3];[2 4 6];[7 8 9]]ans =1 2 32 4 67 8 9>> [[1,1+i,2];[2,3+2i,1]]ans =1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 0.0000i2.0000 + 0.0000i 3.0000 + 2.0000i 1.0000 + 0.0000i2.M文件生成法
? 當矩陣的規模比較大時，直接輸入法就顯得笨拙，出差錯也不易修改。為了解決這些問題，可以將所要輸入的矩陣按格式先寫入一文本文件中，并將此文件以m為其擴展名，即M 文件。
? M 文件是一種可以在 MATLAB 環境下運行的文本文件，它可以分為命令式文件和函數式文件兩種。在此處主要用到的是命令式M 文件，用它的簡單形式來創建大型矩陣。在 MATLAB命令行窗口中輸入 M 文件名，所要輸入的大型矩陣即可被輸入到內存中。
M 文件中的變量名與文件名不能相同，否則會造成變量名和函數名的混亂。運行 M文件時，需要先將 M文件sample.m 復制到當前目錄文件夾下，否則運行時無法調用。
3.利用文本創建
?MATLAB 中的矩陣還可以由文本文件創建，即在文件夾(通常為work文件夾)中建立txt 文件，在命令行窗口中直接調用此文件名即可。
(1)事先在記事本中建立文件。
(2)以goods.txt保存，在MATLAB 命令行窗口中輸入。
由此創建商品矩陣x。
4.導入數據
?
三.MATLAB矩陣常用函數
（1）eye 函數：生成單位矩陣
>> E1=eye(3)E1 =1 0 00 1 00 0 1>> E2=eye(2,4)E2 =1 0 0 00 1 0 0>> E3=eye(size(E1))E3 =1 0 00 1 00 0 1
（2）?ones?函數：生成全 1 矩陣
% 生成 3×3 全 1 矩陣
O1 = ones(3);
disp('ones(3) 生成的全 1 矩陣：');
disp(O1);% 生成 2×4 全 1 矩陣
O2 = ones(2, 4);
disp('ones(2, 4) 生成的全 1 矩陣：');
disp(O2);% 生成與矩陣 A 維數相同的全 1 矩陣
A = [1 2; 3 4; 5 6];
O3 = ones(size(A));
disp('ones(size(A)) 生成的全 1 矩陣（與 A 同維度）：');
disp(O3);
>> test
ones(3) 生成的全 1 矩陣：1 1 11 1 11 1 1ones(2, 4) 生成的全 1 矩陣：1 1 1 11 1 1 1ones(size(A)) 生成的全 1 矩陣（與 A 同維度）：1 11 11 1?（3）eros 函數：生成全 0 矩陣
% 生成 3×2 全 0 矩陣
Z1 = zeros(3, 2);
disp('zeros(3, 2) 生成的全 0 矩陣：');
disp(Z1);% 生成與矩陣 A 維數相同的全 0 矩陣
A = [1 2 3; 4 5 6];
Z2 = zeros(size(A));
disp('zeros(size(A)) 生成的全 0 矩陣（與 A 同維度）：');
disp(Z2);
>> test
zeros(3, 2) 生成的全 0 矩陣：0 00 00 0zeros(size(A)) 生成的全 0 矩陣（與 A 同維度）：0 0 00 0 0（4）rand?函數：生成均勻分布隨機矩陣
每次運行結果不同，元素值在 0 到 1 之間隨機 。
% 生成 3×3 在 [0,1] 區間均勻分布的隨機矩陣
R1 = rand(3);
disp('rand(3) 生成的隨機矩陣：');
disp(R1);% 生成 2×4 在 [0,1] 區間均勻分布的隨機矩陣
R2 = rand(2, 4);
disp('rand(2, 4) 生成的隨機矩陣：');
disp(R2);% 生成與矩陣 A 維數相同的隨機矩陣
A = [1 2; 3 4];
R3 = rand(size(A));
disp('rand(size(A)) 生成的隨機矩陣（與 A 同維度）：');
disp(R3);
>> test
rand(3) 生成的隨機矩陣：0.8147 0.9134 0.27850.9058 0.6324 0.54690.1270 0.0975 0.9575rand(2, 4) 生成的隨機矩陣：0.9649 0.9706 0.4854 0.14190.1576 0.9572 0.8003 0.4218rand(size(A)) 生成的隨機矩陣（與 A 同維度）：0.9157 0.95950.7922 0.6557?（5）compan?函數：生成多項式伴隨矩陣
% 多項式系數向量 P，對應多項式 x^3 + 2x^2 + 3x + 4 （注意系數按降冪排列，缺項補 0 ）
P = [1 2 3 4];
C = compan(P);
disp('compan(P) 生成的伴隨矩陣：');
disp(C);
>> test
compan(P) 生成的伴隨矩陣：-2 -3 -41 0 00 1 0?生成的伴隨矩陣和多項式根等特性相關，可用于多項式分析 。
（6）diag 函數：生成對角矩陣
主對角線上是向量?v?的元素，其余為 0 。
% 以向量 v 的元素為對角線元素生成對角矩陣
v = [1 2 3];
D = diag(v);
disp('diag(v) 生成的對角矩陣：');
disp(D);
>> test
diag(v) 生成的對角矩陣：1 0 00 2 00 0 3
?（7）?hilb?函數：生成 Hilbert 矩陣
% 生成 3×3 Hilbert 矩陣
H = hilb(3);
disp('hilb(3) 生成的 Hilbert 矩陣：');
disp(H);
>> test
hilb(3) 生成的 Hilbert 矩陣：1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000Hilbert 矩陣元素?H(i,j) = 1/(i + j - 1)?，是典型的病態矩陣，常用于測試算法穩定性 。?
（8）magic?函數：生成魔方矩陣
% 生成 3 階魔方矩陣（每行、每列、兩條對角線元素和相等 ）
M = magic(3);
disp('magic(3) 生成的魔方矩陣：');
disp(M);
>> test
magic(3) 生成的魔方矩陣：8 1 63 5 74 9 2magic(n)?函數生成的?n?階魔方矩陣，是一個?n×n?的方陣，滿足每行、每列以及兩條主對角線上的元素之和都相等 ，這個相等的和值被稱為幻和?。數學上，n?階魔方矩陣幻和的計算公式是?S = n×(n2 + 1)/2?。3 階魔方矩陣經典結果是?[8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]?，各行、列、對角線和為 15 。
（9）sparse 函數：生成稀疏矩陣
% 先創建一個普通矩陣 A
A = [0 0 1; 0 2 0; 3 0 0];
% 將 A 轉化為稀疏矩陣形式
S = sparse(A);
disp('sparse(A) 生成的稀疏矩陣：');
disp(S);
% 查看稀疏矩陣存儲方式（只存儲非零元素的下標和值 ）
disp('稀疏矩陣的存儲內容：');
disp(full(S)); % full 函數可還原回普通矩陣查看
>> test
sparse(A) 生成的稀疏矩陣：(3,1) 3(2,2) 2(1,3) 1稀疏矩陣的存儲內容：0 0 10 2 03 0 0?稀疏矩陣適合存儲大部分元素為 0 的矩陣，節省內存，常用于大規模矩陣運算場景 。
四.MATLAB的矩陣運算
矩陣中的元素與向量中的元素一樣，可以進行抽取引用、編輯修改等操作。
1.矩陣元素的修改
矩陣建立起來之后，還需要對其元素進行修改。表5-1列出了常用的矩陣元素修改命令。
（1）矩陣的擴充
>> A=eye(2)A =1 00 1>> B=ones(2)B =1 11 1>> C=[A B]C =1 0 1 10 1 1 1>> D=[C;B A]D =1 0 1 10 1 1 11 1 1 01 1 0 1>> ?需要注意的是C的列數需要和B+A的一樣
（2）矩陣中行的刪除
>> CC =1 0 1 10 1 1 1>> C(1,:)=[]C =0 1 1 1（3）矩陣中列的刪除
>> C=[A B]C =1 0 1 10 1 1 1>> C(:,2)=[]C =1 1 10 1 1?（4）矩陣中元素的賦值
>> D=[A;B C]D =1 2 34 5 61 0 00 1 0>> D(1,3)=5D =1 2 54 5 61 0 00 1 02.矩陣的變維
? 矩陣的變維可以用符號“ ：”法和reshape 函數法。
①reshape 函數的調用
reshape(X,m,n)，可將已知矩陣變維成m行n列的矩陣。
>> D(1,3)=5D =1 2 54 5 61 0 00 1 0>> reshape(D,3,4)ans =1 0 0 64 2 1 01 5 5 0②“ ：” 法
>> A=1:12A =列 1 至 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11列 1212>> C=zeros(3,4)C =0 0 0 00 0 0 00 0 0 0>> C(:)=A(:)C =1 4 7 102 5 8 113 6 9 12變維是按列重新排的
3.矩陣的變向
C =1 4 7 102 5 8 113 6 9 12>> flipdim(C,1)ans =3 6 9 122 5 8 111 4 7 10>> flipdim(C,2)ans =10 7 4 111 8 5 212 9 6 34.矩陣的抽取
?對矩陣元素的抽取主要是指對角元素和上(下)三角陣的抽取。對角矩陣和三角矩陣的抽取命令見表 5-3。
（1）diag(X,k)?和?diag(X)：抽取矩陣對角線元素
% 創建一個 4×4 矩陣
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 抽取主對角線（k=0）元素，得到向量 [1,6,11,16]
d0 = diag(X);
disp('diag(X) 抽取主對角線結果：');
disp(d0);% 抽取上方第 1 條對角線（k=1）元素，得到向量 [2,7,12]
d1 = diag(X,1);
disp('diag(X,1) 抽取上方第 1 條對角線結果：');
disp(d1);% 抽取下方第 1 條對角線（k=-1）元素，得到向量 [5,10,15]
d_1 = diag(X,-1);
disp('diag(X,-1) 抽取下方第 1 條對角線結果：');
disp(d_1);
>> test
diag(X) 抽取主對角線結果：161116diag(X,1) 抽取上方第 1 條對角線結果：2712diag(X,-1) 抽取下方第 1 條對角線結果：51015
k=0?對應主對角線，k>0?對應主對角線上方的對角線，k<0?對應主對角線下方的對角線，按此規則抽取對應位置元素組成向量 。?
（2）diag(v,k)?和?diag(v)：用向量構造對角矩陣
% 定義向量 v
v = [10,20,30];% 構造主對角線為 v 的對角矩陣，得到 3×3 矩陣 diag(10,20,30)
M1 = diag(v);
disp('diag(v) 構造主對角線矩陣結果：');
disp(M1);% 構造上方第 1 條對角線為 v 的矩陣，得到 5×5 矩陣（行數 = 向量長度 + |k| ，這里 k=1 ，所以 3 + 1 = 4 ？實際是 length(v)+abs(k) ，v 長度 3 ，k=1 ，得到 4×4 矩陣 ）
M2 = diag(v,1);
disp('diag(v,1) 構造上方第 1 條對角線矩陣結果：');
disp(M2);
>> test
diag(v) 構造主對角線矩陣結果：10 0 00 20 00 0 30diag(v,1) 構造上方第 1 條對角線矩陣結果：0 10 0 00 0 20 00 0 0 300 0 0 0
?diag(v)?會生成以?v?元素為主對角線的對角矩陣；diag(v,k)?則把?v?元素放到第?k?條對角線上，其余位置補 0 ，矩陣維度由向量長度和?k?共同決定 。
（3）tril?函數：提取下三角部分
% 還是用前面的 4×4 矩陣 X
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 提取主下三角部分（主對角線及以下），得到下三角矩陣
T1 = tril(X);
disp('tril(X) 提取主下三角結果：');
disp(T1);% 提取第 1 條對角線下面的部分（包括第 1 條對角線，k=1 ，即主對角線及下方 1 條對角線 ）
T2 = tril(X,1);
disp('tril(X,1) 提取第 1 條對角線下面部分結果：');
disp(T2);% 提取第 -1 條對角線下面的部分（k=-1 ，即主對角線下方第 1 條對角線及更下面 ）
T3 = tril(X,-1);
disp('tril(X,-1) 提取第 -1 條對角線下面部分結果：');
disp(T3);
>> test
tril(X) 提取主下三角結果：1 0 0 05 6 0 09 10 11 013 14 15 16tril(X,1) 提取第 1 條對角線下面部分結果：1 2 0 05 6 7 09 10 11 1213 14 15 16tril(X,-1) 提取第 -1 條對角線下面部分結果：0 0 0 05 0 0 09 10 0 013 14 15 0
tril(X)?直接提取主對角線及以下元素，形成下三角矩陣；tril(X,k)?依據?k?值確定提取范圍，k?越大，包含的對角線越靠上，提取的下三角部分越 “大” 。
（4）triu 函數：提取上三角部分
% 基于矩陣 X 演示
X = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];% 提取主上三角部分（主對角線及以上），得到上三角矩陣
U1 = triu(X);
disp('triu(X) 提取主上三角結果：');
disp(U1);% 提取第 1 條對角線上面的部分（包括第 1 條對角線，k=1 ，即主對角線及上方 1 條對角線 ）
U2 = triu(X,1);
disp('triu(X,1) 提取第 1 條對角線上面部分結果：');
disp(U2);% 提取第 -1 條對角線上面的部分（k=-1 ，即主對角線上方第 1 條對角線及更上面 ，其實就是主對角線及以上 ，因為 k=-1 表示主對角線下方，取上面部分就是主對角線及以上 ，結果和 triu(X) 類似 ）
U3 = triu(X,-1);
disp('triu(X,-1) 提取第 -1 條對角線上面部分結果：');
disp(U3);
>> test
triu(X) 提取主上三角結果：1 2 3 40 6 7 80 0 11 120 0 0 16triu(X,1) 提取第 1 條對角線上面部分結果：0 2 3 40 0 7 80 0 0 120 0 0 0triu(X,-1) 提取第 -1 條對角線上面部分結果：1 2 3 45 6 7 80 10 11 120 0 15 16triu(X)?提取主對角線及以上元素形成上三角矩陣；triu(X,k)?根據?k?確定提取范圍，k?越小，包含的對角線越靠下，提取的上三角部分越 “大” ，和?tril?函數功能相反但邏輯類似 。
5.MATLAB矩陣基本運算
? 矩陣的基本運算包括加、減、乘、數乘、點乘、乘方、左除、右除、求逆等。其中加、減、乘與大家所學的線性代數中的定義是一樣的，相應的運算符為+ - *
? 矩陣的除法運算是MATLAB所特有的，分為左除和右除，相應運算符為“\”和“/”。一般情況下，方程 A*X=B 的解是 X=A\B，而方程 X*A=B 的解是 X=B/A。
對于上述的四則運算，需要注意的是：矩陣的加、減、乘運算的維數要求與線性代數中的要求一致。
（1）矩陣的加減法
設A=(ai)，B=(b)都是mxn矩陣，矩陣A與B的和記成A+B，規定為
①交換律A+B=B+A
②結合律(A+B)+C=A+(B+C)
（2）矩陣的乘法運算
若3個矩陣有相乘關系，設A=(ai)是一個m*s矩陣，B=(b)是一個s*n矩陣，規定A與B的積為一個 m*n 矩陣 C=(cij)。
即 C=A*B，需要滿足以下3種條件：
①矩陣4的列數與矩陣B的行數相同；
②矩陣C的行數等于矩陣A的行數，矩陣C的列數等于矩陣B的列數；
③矩陣C的第m行n列元素值等于矩陣A的m行元素與矩陣B的n列元素對應值積的和。
>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> b=[4 5 6;7 8 9;10 11 12];
>> a*bans =48 54 60111 126 141174 198 222注意：
①若矩陣A、B滿足AB=0，未必有A=0或 B=0 的結論。
②AB≠BA，矩陣的乘法并不滿足交換律。
（3）矩陣的點乘運算
點乘運算指將兩矩陣中相同位置的元素進行相乘運算，將積保存在原位置組成新矩陣。
>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]a =1 2 34 5 67 8 9>> b=[4 5 6;7 8 9;10 11 12]b =4 5 67 8 910 11 12>> a.*bans =4 10 1828 40 5470 88 108（4）矩陣的除法運算
? 計算左除A\B時，A的行數要與B的行數一致。計算右除A/B時，A的列數要與B的列數一致。
①.左除運算
由于矩陣的特殊性，A*B通常不等于 B*A，除法也一樣。因此除法要區分左右。線性方程組 D*X=B，如果D非奇異，即它的逆矩陣 inv(D)存在，則其解用 MATLAB 表示為X=inv(D)*B=D\B。符號“\”稱為左除，即分母放在左邊。
左除的條件:B的行數等于D的階數(D的行數和列數相同，簡稱階數)。
? ②.右除運算
若方程組表示為 X*D1=B1，D1非奇異，即它的逆陣 inv(D1)存在，則其解為X=B1*inv(D1)=B1/D1
符號“/”稱為右除。
右除的條件:B1的列數等于D1的階數(D1的行數和列數相同，簡稱階數)。
5.MATLAB矩陣運算常用函數
（1） 基礎矩陣運算（行列式、逆、秩、跡）
% 定義一個測試矩陣
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];% 1. det：計算行列式
det_A = det(A);
disp('det(A) 行列式結果：');
disp(det_A); % 輸出 0（因為矩陣行線性相關）% 2. inv：計算矩陣的逆（注意：奇異矩陣無逆，這里換可逆矩陣演示）
B = [1 2; 3 4];
inv_B = inv(B);
disp('inv(B) 矩陣的逆：');
disp(inv_B); % 輸出 [-2 1; 1.5 -0.5]% 3. rank：計算矩陣的秩
rank_A = rank(A);
disp('rank(A) 矩陣的秩：');
disp(rank_A); % 輸出 2（因為行線性相關）% 4. trace：計算矩陣的跡（主對角線元素和）
trace_A = trace(A);
disp('trace(A) 矩陣的跡：');
disp(trace_A); % 輸出 1+5+9=15
>> test
det(A) 行列式結果：6.6613e-16inv(B) 矩陣的逆：-2.0000 1.00001.5000 -0.5000rank(A) 矩陣的秩：2trace(A) 矩陣的跡：15
（2）特征值與范數
% 定義矩陣
C = [1 0; 0 2];% 5. eig：計算特征值
eig_C = eig(C);
disp('eig(C) 特征值：');
disp(eig_C); % 輸出 [1; 2]（對角矩陣的特征值就是對角線元素）% 6. norm：計算矩陣的范數（默認 2-范數）
norm_C = norm(C);
disp('norm(C) 矩陣范數（2-范數）：');
disp(norm_C); % 輸出 2（最大奇異值，對角矩陣的 2-范數是最大對角線元素）% 7. normest：估算 2-范數（適合大矩陣快速計算）
normest_C = normest(C);
disp('normest(C) 估算 2-范數：');
disp(normest_C); % 輸出 2（與 norm 結果一致）
>> test
eig(C) 特征值：12norm(C) 矩陣范數（2-范數）：2normest(C) 估算 2-范數：2.0000
（3）?矩陣變換（三角矩陣、翻轉、旋轉）
% 定義矩陣
D = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];% 8. triu：提取上三角矩陣
triu_D = triu(D);
disp('triu(D) 上三角矩陣：');
disp(triu_D);
% 輸出：
% 1 2 3
% 0 5 6
% 0 0 9% 9. tril：提取下三角矩陣
tril_D = tril(D);
disp('tril(D) 下三角矩陣：');
disp(tril_D);
% 輸出：
% 1 0 0
% 4 5 0
% 7 8 9% 10. rot90：逆時針旋轉 90°
rot90_D = rot90(D);
disp('rot90(D) 逆時針旋轉 90°：');
disp(rot90_D);
% 輸出：
% 3 6 9
% 2 5 8
% 1 4 7% 11. fliplr：左右翻轉
fliplr_D = fliplr(D);
disp('fliplr(D) 左右翻轉：');
disp(fliplr_D);
% 輸出：
% 3 2 1
% 6 5 4
% 9 8 7% 12. flipud：上下翻轉
flipud_D = flipud(D);
disp('flipud(D) 上下翻轉：');
disp(flipud_D);
% 輸出：
% 7 8 9
% 4 5 6
% 1 2 3
>> test
triu(D) 上三角矩陣：1 2 30 5 60 0 9tril(D) 下三角矩陣：1 0 04 5 07 8 9rot90(D) 逆時針旋轉 90°：3 6 92 5 81 4 7fliplr(D) 左右翻轉：3 2 16 5 49 8 7flipud(D) 上下翻轉：7 8 94 5 61 2 3
（4）高級運算（條件數、指數、對數）
% 定義一個可逆且特征值全為正的矩陣（避免logm警告）
E = [4 1; 1 3]; % 特征值為5和2（均為正數，確保logm返回實數）% 13. cond：計算條件數（衡量矩陣病態程度，值越大越病態）
cond_E = cond(E);
disp('cond(E) 條件數：');
disp(cond_E); % 輸出約2.618（值較小，矩陣性態良好）% 14. expm：矩陣的指數運算（基于矩陣冪級數）
expm_E = expm(E);
disp('expm(E) 矩陣指數：');
disp(expm_E);
% 輸出指數矩陣（實數結果）
% 原理：expm(E) = sum_{k=0}^∞ (E^k / k!)% 15. logm：矩陣的對數運算（expm的逆運算）
logm_E = logm(E);
disp('logm(E) 矩陣對數：');
disp(logm_E);
% 輸出對數矩陣（實數結果，無警告）
% 驗證：expm(logm_E) 應近似等于原矩陣E
disp('驗證 logm 與 expm 的互逆性：');
disp(expm(logm_E)); % 輸出接近原矩陣E
>> test
cond(E) 條件數：1.9387expm(E) 矩陣指數：76.2898 40.458840.4588 35.8311logm(E) 矩陣對數：1.3470 0.29610.2961 1.0509驗證 logm 與 expm 的互逆性：4.0000 1.00001.0000 3.0000
?（5）?矩陣重構與簡化
% 定義矩陣
F = [1 2 3 4; 5 6 7 8];% 16. reshape：改變矩陣維度（元素按列優先重構）
reshape_F = reshape(F, 4, 2);
disp('reshape(F,4,2) 改變維度：');
disp(reshape_F);
% 輸出：
% 1 5
% 2 6
% 3 7
% 4 8% 17. rref：轉換成行最簡階梯形
G = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
rref_G = rref(G);
disp('rref(G) 行最簡階梯形：');
disp(rref_G);
% 輸出：
% 1 0 -1
% 0 1 2
% 0 0 0
>> test
reshape(F,4,2) 改變維度：1 35 72 46 8rref(G) 行最簡階梯形：1 0 -10 1 20 0 0
?（6）?特殊矩陣運算
% 1. 先創建一個有復數特征值的矩陣（例如旋轉矩陣）
A = [0 -1; 1 0]; % 特征值為 i 和 -i（共軛復數）% 2. 求復數特征值和特征向量
[Vc, Dc] = eig(A); % Vc 是復數特征向量，Dc 是復數對角矩陣（特征值）% 3. 使用 cdf2rdf 轉換為實數塊對角形式
[V, D] = cdf2rdf(Vc, Dc);% 顯示結果
disp('復數特征向量矩陣 Vc：');
disp(Vc);
disp('復數對角矩陣 Dc（特征值）：');
disp(Dc);
disp('轉換后的實數特征向量矩陣 V：');
disp(V);
disp('轉換后的實數塊對角矩陣 D：');
disp(D);
>> test
復數特征向量矩陣 Vc：0.7071 + 0.0000i 0.7071 + 0.0000i0.0000 - 0.7071i 0.0000 + 0.7071i復數對角矩陣 Dc（特征值）：0.0000 + 1.0000i 0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 1.0000i轉換后的實數特征向量矩陣 V：1.0000 00 -1.0000轉換后的實數塊對角矩陣 D：0 1-1 0
6.MATLAB矩陣的冪運算
A是一個n階矩陣，k是一個正整數，規定A^k=A*A*A*......*A（k個A相乘），稱為矩陣的冪。其中k，l為正整數。
矩陣的冪運算是將矩陣中每個元素進行乘方運算，即：
在MATLAB中，冪運算就是在乘方符號" .^ "后面輸入冪的次數。對于單個n階矩陣A，A^k*A^l=A^(k+l)，(A^K)^l=A^(k*l)。
對于兩個n階矩陣A與B，(A*B)^k≠A^k*B^k
7.MATLAB逆矩陣
（1）逆矩陣的定義
對于n階方陣 A，如果有n階方陣B滿足AB=BA=I，則稱矩陣A為可逆的，稱方陣B為A的逆矩陣，記為 A^(-1)。
（2）逆矩陣的性質:
①若 A可逆，則A^(-1)是唯一的。
②若A可逆，則A^(-1)也可逆，并且(A^(-1))^(-1)=A。
③若n階方陣A與B都可逆，則AB也可逆，且(AB)-1=B-A-。
④若 A可逆，則|A^(-1)|=|A|^(-1)
（3）奇異矩陣和非奇異矩陣：
我們把滿足|A|≠0 的方陣 A稱為非奇異的，否則就稱為奇異的
（4）求解矩陣的逆使用函數 inv
調用格式：Y=inv(x)
（5）求解矩陣的逆條件數值使用函數 rcond
另外，常用的運算還有指數函數、對數函數、平方根函數等。用戶可查看相應的幫助獲得使用方法和相關信息。
8.MATLAB中矩陣的條件數
（1）矩陣的條件數
在數值分析中是一個重要的概念，在工程計算中也是必不可少的，它用于刻畫一個矩陣的“病態”程度。
（2）條件數的定義
對于非奇異矩陣 A，其條件數的定義為cond(A)v=||A^-1||v *||A||v，其中v=1,2,……,F
它是一個大于或等于1的實數，當A的條件數相對較大，即cond(A)>>1時，矩陣A是“病態”的，反之是“良態”的。
9.MATLAB中矩陣的范式
范數是數值分析中的一個概念，它是向量或矩陣大小的一種度量，在工程計算中有著重要的作用。對于向量x∈R^n，常用的向量范數有以下幾種。
10.MATLAB中的奇異值分解
11.MATLAB中矩陣運算的方程求解
? 無論是在工程應用問題還是數學計算問題，方程都是問題轉化的重要途徑之一，通過將復雜的問題簡單轉化成矩陣的求解問題，最后在MATLAB 中進行函數計算。本節通過對一個方程組的應用來介紹如何介紹方程組的求解問題。
利用 MATLAB 中求解多元方程組的不同方法進行求解。
上面的方程符合Ax=b，首先需要確定方程組解的信息
系數矩陣?A?是由方程組中未知數 x1，x2，x3，x4?的系數按行排列構成的矩陣：
常數項向量?b?是方程組等號右邊的常數按行排列構成的列向量：
方法一：利用矩陣求逆（inv?函數 ）
思路：如果矩陣?A?是可逆的（即行列式?det(A)≠0?，滿秩 ），那么方程組的解x=A^-1*b
% 定義系數矩陣 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定義常數項向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 計算矩陣 A 的逆矩陣
A_inv = inv(A);
% 求解方程組 Ax = b，得到解向量 x
x = A_inv * b;% 顯示解
disp('方程組的解為：');
disp(x);
>> test
方程組的解為：3.0000-4.0000-1.00001.0000首先通過?inv?函數求矩陣?A?的逆矩陣A_inv，然后將其與常數項向量?b?相乘，得到解向量?x?。
方法二：左除運算（\?運算符 ）
在 MATLAB 中，對于線性方程組?Ax = b?，更高效且數值穩定性更好的方法是使用左除運算符?\?，代碼如下：
% 定義系數矩陣 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定義常數項向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 直接使用左除運算求解
x = A \ b;% 顯示解
disp('方程組的解為：');
disp(x);
>> test
方程組的解為：3.0000-4.0000-1.00001.0000左除運算會根據矩陣?A?的特性（是否為方陣、是否滿秩等 ）自動選擇合適的算法來求解方程組，一般優先推薦這種方法。?
方法三：通過求秩和增廣矩陣判斷解的情況
在求解前，也可以先判斷方程組解的情況，通過計算系數矩陣?A?的秩rank(A)和增廣矩陣?[A|b]的秩rank([A b] 來確定：
% 定義系數矩陣 A
A = [2 1 -5 1; 1 -3 0 -6; 0 2 -1 2; 1 4 -7 6];
% 定義常數項向量 b
b = [8; 9; -5; 0];% 構造增廣矩陣
aug_matrix = [A b];% 計算系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩
rank_A = rank(A);
rank_aug = rank(aug_matrix);if rank_A == rank_aug && rank_A == size(A, 2)disp('方程組有唯一解，求解結果如下：');x = A \ b;disp(x);
elseif rank_A == rank_aug && rank_A < size(A, 2)disp('方程組有無窮多解');
elsedisp('方程組無解');
end
>> test
方程組有唯一解，求解結果如下：3.0000-4.0000-1.00001.0000?
這里?size(A, 2)?是獲取矩陣?A?的列數（即未知數的個數 ）。當系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等且等于未知數個數時，方程組有唯一解；當秩相等但小于未知數個數時，有無窮多解；當秩不相等時，方程組無解 。在你的這個例子中，一般是有唯一解的情況，然后再用左除等方法求解。
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編自2025/8/4和8/5。依舊無言
