矩陣譜分解的證明及計算示例

1. 矩陣譜分解的條件

? ? ? ? 矩陣的譜分解（也稱為特征分解）是將一個矩陣分解為一系列由其特征向量和特征值構成的矩陣乘積的過程。進行譜分解的前提條件包括：

? ? ? ? <1.> 矩陣是可對角化的（Diagonalizable），即矩陣存在一組線性無關的特征向量，可以構成一個可逆矩陣。

? ? ? ? <2.> 矩陣是正規矩陣（Normal Matrix），對于復矩陣，如果矩陣 $\mathbf{A}$ ?滿足 $\mathbf{AA^* = A^*A}$ （其中 $\mathbf{A^*}$ ?是 $\mathbf{A}$ ?的共軛轉置），則稱 $\mathbf{A}$ ?為正規矩陣。正規矩陣可以被酉對角化。實對稱矩陣是正規矩陣的特例。

具體來說：

? ? 對于一般的方陣，如果它有 $n$ ?個線性無關的特征向量（即幾何重數等于代數重數），則是可以譜分解。

? ? 對于條件更強的正規矩陣（如 Hermitian 矩陣、實對稱矩陣），譜分解總是可行的，且特征向量可以選為正交的。

2. 譜分解的方式

假設 $\mathbf{A}$ ?是一個 $n \times n$ ?的可對角化矩陣，其譜分解的形式為：

? ? ? ?? $\mathbf{A = P \Lambda P^{-1}}$
其中：

? ?? $\Lambda$ ?是一個對角矩陣，其對角線元素是 $\mathbf{A}$ ?的特征值? ? $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ ??。

? ?? $\mathbf{P}$ ?是一個可逆矩陣，其列是 $\mathbf{A}$ ?的對應特征向量?? $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ ??。

如果 $A$ ?是正規矩陣（如 Hermitian 矩陣），則 $P$ ? 可以是酉矩陣（即 $\mathbf{P^{-1} = P^*}$ ??），此時譜分解為：

? ? ? ? $\mathbf{A = U \Lambda U^*}$

3. 譜分解的證明

以下做一個簡單的證明，為什么可對角化的矩陣可以做譜分解。

3.1 一般可對角化矩陣? $\mathbf{A}$

? ? ? ? 設 $A$ ?有 $n$ ?個線性無關的特征向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ ?，對應的特征值為 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ ?。

構造矩陣 $P = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n]$ ?，則 $P$ ?是可逆的。

根據特征向量的定義，有?? $A \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$ ?，可以寫成矩陣形式：

? ? ? ?? $A P = A [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n] = [\lambda_1 \mathbf{v}_1, \lambda_2 \mathbf{v}_2, \dots, \lambda_n \mathbf{v}_n] = P \Lambda$

其中?? $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ ??。

兩邊右乘 $P^{-1}$ ?，得到：

? ? ? ?? $A = P \Lambda P^{-1}$
這就是譜分解。

3.2 正規矩陣的特殊情況

如果 $A$ ?是正規矩陣（如 Hermitian 矩陣），則存在酉矩陣 $U$ （滿足? $U^{^*} U = I$ ?）使得：

? ? ? ? $A = U \Lambda U^*$

這是因為正規矩陣的特征向量可以選為兩兩正交的（即可以正交對角化）。

4. 計算示例

4.1. 一般可對角化矩陣的譜分解示例

現有一般可對角化矩陣：

? ? ? ?? $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

特征值為：

? ? ? ? $\lambda_1 = 5$

? ? ? ? $\lambda_2 = 2$

對應的特征向量為：

? ? ? ? $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

? ? ? ? $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

現在構造：

? ? ? ? $P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

? ? ? ? $P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

則 $A$ 的譜分解為：

? ? ? ? $A = P \Lambda P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

4.2. 實對稱矩陣的譜分解

現有實對稱矩陣：

? ? ? ? $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

特征值為：

? ? ? ? $\lambda_1 = 3$ ?
$\lambda_2 = 1$ ?

對應的特征向量為：

? ? ? ? $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

? ? ? ? $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

歸一化后得到正交矩陣：

? ? ? ? $U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

譜分解為：

$A = U \Lambda U^T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

5. 小結

前提：矩陣可對角化（有 $n$ ?個線性無關的特征向量）或為條件更強的正規矩陣，對應的分解方式有點差異。

? ? ? ?一般可對角化矩陣： $A = P \Lambda P^{-1}$ ??

? ? ? ?正規矩陣： $A = U \Lambda U^*$ ?（其中， $U$ ?是酉矩陣）

證明譜分解的整體思路是基于特征值和特征向量的定義，并通過構造 $P$ ?和 $\Lambda$ ?來實現分解。

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