十一、方程組解的結構和性質

1、齊次線性方程組

方程組

$$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=0,\\ ??\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+?+a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$ （Ⅰ）

稱為m個方程，n個未知量的齊次線性方程組

（1）有解的條件

①當r(A) = n(${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$線性無關)時，方程組（Ⅰ）有唯一零解

②當r(A) = r < n(${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$線性相關)時，方程組（Ⅰ）有非零解（無窮多解），且有n-r個線性無關解

（2）求解方法

①將系數矩陣A作初等行變換化為行階梯形矩陣B，求出r(A)

②按列找出一個秩為r的子矩陣，剩余列位置的未知數設為自由變量 n - r(A)個自由變量

③ 按基礎解系定義求出 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ ，并寫出通解。

2、非齊次線性方程組

$$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ??\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+?+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$ （Ⅱ）

稱為m個方程，n個未知量的非齊次線性方程組

（1）有解的條件

①若r(A)≠r([A,b])（b不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$線性表示），則方程組（Ⅱ）無解

②若r(A)＝r([A,b]) = n（即${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$線性無關，${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n，b$線性相關），則方程組（Ⅱ）有唯一解

③若r(A)＝r([A,b]) < n，則方程組（Ⅱ）有無窮多解

（2）求解方法

① 寫出 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的導出方程組 $A\mathbf{x}=0$ ，并求 $A\mathbf{x}=0$ 的通解：

$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+?+k_{n?r}{\mathbf{\xi }}_{n?r}$$

② 求 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一個特解 $\mathbf{\eta }$

③非齊次線性方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解為：
$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+?+k_{n?r}{\mathbf{\xi }}_{n?r}+\mathbf{\eta }$$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n?r}$為任意常數

十二、Ax=0的基礎解系

設 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 滿足以下充要條件，則稱 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 為齊次線性方程組 $A\mathbf{x}=0$ 的基礎解系：

1. 是方程組的解：

   ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 均滿足 $A\mathbf{x}=0$（即屬于解空間）；

2. 線性無關：

   ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 作為向量組線性無關（是解空間的一組“基”的候選）；

3. 能表示所有解：

   方程組 $A\mathbf{x}=0$的任一解都可由 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 線性表示（即它們構成解空間的一組基）。

十三、兩個方程組的公共解

已知線性方程組：
$$?\begin{array}{ll}\text{(I)}& \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0,\\ x_2?x_4=0\end{array}\\ \text{(II)}& \{\begin{array}{l}{x}_1?x_2+x_3=0,\\ x_2?x_3+x_4=0\end{array}\end{array}$$

(1) 求方程組 (I)、(II) 的基礎解系

(2) 求方程組 (I)、(II) 的公共解

【解】

(1)

方程組 (I)的基礎解析為
$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

方程組(II)的基礎解析為

$${\mathbf{\eta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\eta }}_2=\left(\begin{array}{c}?1\\ ?1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

（2）

方法一：聯立方程

聯立后的系數矩陣為：

$\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& ?1\\ 1& ?1& 1& 0\\ 0& 1& ?1& 1\end{array}\right]$

對矩陣作初等行變換

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& ?1\\ 0& 0& 1& ?2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

因此方程組 (I)、(II)的公共解為

$\mathbf{x}=k\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k\in \mathbb{R}$

方法二：通解代入

在方程組 (I) 的通解中，篩選出同時滿足方程組 (II) 的解，即為 (I)、(II) 的公共解（也可在 (II) 的通解中篩選滿足 (I) 的解 ）

已知方程組 (I) 的基礎解系為 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ ，因此其通解為：

$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2=k_1\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]$

（其中 $k_1,k_2\in \mathbb{R}$ 為任意常數 ）

將通解 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}?k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]代入方程組(II)$：

$\{\begin{array}{l}{x}_1?x_2+x_3=0,\\ x_2?x_3+x_4=0\end{array}$

代入第1個方程：

$(?k_2)?k_2+k_1=0?k_1?2k_2=0?k_1=2k_2$

代入第2個方程：

$k_2?k_1+k_2=0?2k_2?k_1=0$

結合 $k_1 = 2k_2 $，得方程組(I)、(II) 的公共解為

$\mathbf{x}=k_2\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k_2\in \mathbb{R}$

方法三：通解相等

$(I)的通解：k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2=k_1\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]$

$(II)的通解：l_1{\mathbf{\eta }}_1+l_2{\mathbf{\eta }}_2=l_1\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+l_2\left[\begin{array}{c}?1\\ ?1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?l_2\\ l_1?l_2\\ l_1\\ l_2\end{array}\right]$

由上式可得$k_2=l_2,k_2=l_1?l_2,k_1=l_1$

故

$k_1=2k_2$ 或 $l_1=2l_2$

因此公共解為

$\mathbf{x}=k_2\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k_2\in \mathbb{R}$

或

$\mathbf{x}=l_2\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],l_2\in \mathbb{R}$

十四、同解方程

$A\mathbf{x}=0$ 與 $B\mathbf{x}=0$ 同解

<=> 基礎解系為等價向量組

<=>$A、B$行向量組為等價向量組

<=> $A\mathbf{x}=0$的解均為$B\mathbf{x}=0$的解且 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$

<=>$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=r\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$

十五、求特征值、特征向量

方法一：|λE-A|=0，求λ，回代$({\lambda }_{i}E?A)x=0$求α

方法二：常用結論

1. 行列式與跡（對 n 階矩陣 $\mathbf{A}，{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$為特征值 ）

   • $|\mathbf{A}|={\lambda }_1{\lambda }_2?{\lambda }_n$（行列式等于特征值之積 ）
   • $\text{tr}(\mathbf{A})={\lambda }_1+{\lambda }_2+?+{\lambda }_n$（跡等于特征值之和 ）

2. 多項式矩陣的特征值（若 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，則 ）

   對多項式 $f(x)$，有：

   $$f(\mathbf{A})\mathbf{\alpha }=f(\lambda )\mathbf{\alpha }$$

   具體應用：

   • ${\mathbf{A}}^k\mathbf{\alpha }={\lambda }^k\mathbf{\alpha }$（$k$ 次冪 ）
   • $(\mathbf{A}+k\mathbf{E})\mathbf{\alpha }=(\lambda +k)\mathbf{\alpha }$（加數量矩陣 ）
   • 若 $\mathbf{A}$ 可逆，則 ${\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{\alpha }$，${\mathbf{A}}^{?}\mathbf{\alpha }=\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\mathbf{\alpha }$（伴隨矩陣 ）
   • 相似變換：${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$（相似矩陣特征值相同，特征向量變換為 ${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{\alpha }$ ）

3. 特殊特征值

   • 若 $\mathbf{A}$ 為對合矩陣（${\mathbf{A}}^2=\mathbf{E}$ ），則 $\lambda =\pm 1$
   • 若 $\mathbf{A}$ 行和為 $ a $，則 $\lambda =a$ 是一個特征值，對應特征向量 $\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ?\\ 1\end{array}\right)$（所有分量為1 ）

4. 特征值的重數

   若 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\lambda \mathbf{B}$ 且 $\mathbf{B}\ne 0$，則 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，且 $\mathbf{B}$ 的非零列是對應特征向量；若 $\mathbf{B}$ 有 $n$ 個線性無關列滿足，則 $\lambda$ 至少是 $n$ 重特征值

5. 二次型與特征值

   • 二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 經正交變換 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化為標準型 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+?+{\lambda }_n{y}_n^2$，其中 ${\lambda }_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值

6. 相似矩陣的特征值

   若 $\mathbf{A}～\mathbf{B}$（相似 ），則 $\mathbf{A}$ 與 $\mathbf{B}$ 特征值完全相同（包括重數 ），但特征向量不同（滿足 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }?\mathbf{B}({\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{\alpha })=\lambda ({\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{\alpha })$，$\mathbf{P}$ 為相似變換矩陣 ）

十六、判斷A能否相似對角化

方法一：基于特征值和特征向量的個數判斷（適用于一般矩陣）

• 判斷條件：n階矩陣$\mathbf{A}$可相似對角化的充分必要條件是$\mathbf{A}$有n個線性無關的特征向量。
• 具體步驟
  1. 計算特征值：根據特征方程$|\lambda \mathbf{E}?\mathbf{A}|=0$ ，求出矩陣$\mathbf{A}$的所有特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_s$，以及它們對應的代數重數$n_1,n_2,?,n_s$（特征值${\lambda }_i$的代數重數是指它在特征方程的根中出現的重數，且$n_1+n_2+?+n_s=n$)。
  2. 計算特征向量并判斷線性無關性：對于每個特征值${\lambda }_i$，求解齊次線性方程組$({\lambda }_i\mathbf{E}?\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得到其基礎解系，基礎解系中的向量就是屬于${\lambda }_i$的線性無關的特征向量，設其個數為$m_i$,$m_i$也被稱為特征值${\lambda }_i$的幾何重數， 即屬于${\lambda }_i$的線性無關特征向量的個數）。若對于每一個特征值${\lambda }_i$，都有其代數重數$n_i$等于幾何重數$m_i$，即$n_i=m_i$，$i=1,2,?,s$，則矩陣$\mathbf{A}$有n個線性無關的特征向量，$\mathbf{A}$可以相似對角化；若存在某個特征值，其代數重數不等于幾何重數，則$\mathbf{A}$不能相似對角化。

方法二：判斷矩陣是否為實對稱矩陣（適用于實矩陣）

• 判斷條件：實對稱矩陣一定可以相似對角化，并且可以正交相似對角化（即存在正交矩陣$\mathbf{Q}$，使得${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}$為對角矩陣）。
• 具體步驟：只需判斷矩陣$\mathbf{A}$是否滿足${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$，若滿足，則$\mathbf{A}$可相似對角化。

十七、若A可以相似對角化，求P(Q)

若矩陣 $\mathbf{A}$ 可相似對角化，求可逆矩陣 $\mathbf{P}$（或正交矩陣 $\mathbf{Q}$）的步驟

一、求可逆矩陣 $\mathbf{P}$ 使 ${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$（$\mathbf{\Lambda }$ 為對角矩陣）

1. 求特征值 解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}?\mathbf{A}|=0$，得所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$（含重數）。
2. 求特征向量 對每個特征值 ${\lambda }_i$，解齊次方程組 $({\lambda }_i\mathbf{E}?\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得基礎解系 ${\mathbf{\xi }}_{i1},{\mathbf{\xi }}_{i2},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$（$k_i$ 為幾何重數，且 $\sum k_i=n$）。
3. 構造矩陣 $\mathbf{P}$ 與對角矩陣 $\mathbf{\Lambda }$

• 將所有線性無關的特征向量按列排列，組成可逆矩陣： $$\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_{11},{\mathbf{\xi }}_{12},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{1k_1},{\mathbf{\xi }}_{21},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n{k}_n})$$

• 對角矩陣 $\mathbf{\Lambda }$ 的對角線元素為對應特征值，順序與 $\mathbf{P}$ 的列向量一致： $$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ?& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

二、求正交矩陣 $\mathbf{Q}$ 使 ${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda }$（適用于實對稱矩陣）

1. 完成“求可逆矩陣 $\mathbf{P}$”的步驟1-2 得特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 和對應特征向量 ${\mathbf{\xi }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$。
2. 正交化 對同一特征值 ${\lambda }_i$ 的線性無關特征向量 ${\mathbf{\xi }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$，用施密特正交化法化為正交向量組： $${\mathbf{\beta }}_{i1}={\mathbf{\xi }}_{i1},{\mathbf{\beta }}_{ij}={\mathbf{\xi }}_{ij}?\sum _{m=1}^{j?1}\frac{({\mathbf{\xi }}_{ij},{\mathbf{\beta }}_{im})}{({\mathbf{\beta }}_{im},{\mathbf{\beta }}_{im})}{\mathbf{\beta }}_{im}(j=2,\dots ,k_i)$$
3. 單位化 將正交向量組 ${\mathbf{\beta }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\beta }}_{i{k}_i}$ 單位化： $${\mathbf{\gamma }}_{ij}=\frac{{\mathbf{\beta }}_{ij}}{\Vert {\mathbf{\beta }}_{ij}\Vert }(\Vert \mathbf{\beta }\Vert =\sqrt{(\mathbf{\beta },\mathbf{\beta })}\text{?為向量模長})$$
4. 構造正交矩陣 $\mathbf{Q}$ 將所有單位正交特征向量按列排列，組成正交矩陣： $$\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_{11},\dots ,{\mathbf{\gamma }}_{1k_1},{\mathbf{\gamma }}_{21},\dots ,{\mathbf{\gamma }}_{n{k}_n})$$

【例】

求實對稱矩陣 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$ 的正交矩陣 $\mathbf{Q}$

1. 特征值：${\lambda }_1=5$，${\lambda }_2={\lambda }_3=?1$（代數重數均等于幾何重數）。

2. 特征向量：

   • ${\lambda }_1=5$ 對應 ${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

   • ${\lambda }_2=?1$ 對應 ${\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

3. 正交化：

   • ${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
   • ${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
   • ${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\xi }}_3?\frac{({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}?1/2\\ ?1/2\\ 1\end{array}\right)$

4. 單位化： $${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}?1\\ ?1\\ 2\end{array}\right)$$

5. 正交矩陣： $$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& ?1/\sqrt{2}& ?1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& ?1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& 2/\sqrt{6}\end{array}\right)$$ 滿足 ${\mathbf{Q}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& ?1& 0\\ 0& 0& ?1\end{array}\right)$。

• $\mathbf{P}$ 是可逆矩陣，由線性無關特征向量組成，適用于所有可對角化矩陣；
• $\mathbf{Q}$ 是正交矩陣（${\mathbf{Q}}^{?1}={\mathbf{Q}}^{\text{T}}$），由單位正交特征向量組成，僅適用于實對稱矩陣（必可對角化且可正交對角化）。

十八、二次型化標準型

1、拉格朗日配方法

通過代數配方將二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 轉化為只含平方項的標準形 $f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+?+d_n{y}_n^2$，對應可逆線性變換 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$（$\mathbf{C}$ 為可逆矩陣）

1. 含平方項的變量優先配方：

若二次型含某個變量（如 $x_1$）的平方項，將所有含 $x_1$ 的項集中，配成完全平方形式，剩余項中重復此操作。

2. 不含平方項時構造平方項：

   若二次型僅含交叉項（如 $x_1{x}_2$），令 $x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1?y_2$，$x_i=y_i(i\ge 3)$，引入平方項后再配方。

3. 寫出標準形和變換矩陣：

   配方后得到標準形，根據變量替換關系寫出可逆矩陣 $\mathbf{C}$，滿足 $f={\mathbf{y}}^{\text{T}}({\mathbf{C}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}$ 為標準形。

示例：

化二次型 $f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2$ 為標準形。

• 配方過程：
  $$\begin{array}{rl}f& =(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2)+(x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2)\\ & =(x_1+x_2{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2\end{array}$$

• 變量替換：
  令 $y_1=x_1+x_2$，$y_2=x_2+2x_3$，$y_3=x_3$，則 $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 1& ?2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}$。

• 標準形：$f=y_1^2+y_2^2$，變換矩陣 $\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 1& ?2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$（可逆）。

2、正交化法

通過正交變換 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$（$\mathbf{Q}$ 為正交矩陣）將二次型化為標準形，標準形的系數為矩陣 $\mathbf{A}$ 的特征值，即 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+?+{\lambda }_n{y}_n^2$。

1. 寫出二次型矩陣 $\mathbf{A}$：

二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 中，$\mathbf{A}$ 為實對稱矩陣（$a_{ii}$ 是 $x_i^2$ 的系數，$a_{ij}=a_{ji}$ 是 $x_i{x}_j$ 系數的一半）。

2. 求 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量：
   解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}?\mathbf{A}|=0$ 得特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，對應特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_n$。

3. 特征向量正交化與單位化：

   對同一特征值的線性無關特征向量用施密特正交化，再將所有特征向量單位化，得單位正交向量組 ${\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_n$。

4. 構造正交矩陣 $\mathbf{Q}$ 和標準形：

   $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_n)$，則正交變換 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化二次型為標準形：
   $$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+?+{\lambda }_n{y}_n^2$$

示例：

用正交化法化 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 為標準形。

• 二次型矩陣：$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$。

• 特征值：${\lambda }_1=4$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

• 單位正交特征向量：

${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\text{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(?1,1,0{)}^{\text{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(?1,?1,2{)}^{\text{T}}$。

• 標準形：$f=4y_1^2+y_2^2+y_3^2$，正交矩陣 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$。

十九、二次型正定

若n元二次型$f=x^{T}Ax$正定 <=> 對任意x≠0，有$f=x^{T}Ax$＞0

<=> f的正慣性指數p = n

<=> 存在可逆矩陣D，使 A = D${}^T$D

<=>A合同與E

<=>A的特征值${\lambda }_i>0(i=1,2,???，n)$

<=>A的全部順序主子式均大于0

二十、等價、相似、合同

關系	等價（矩陣$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$等價）	相似（矩陣$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$相似）	合同（矩陣$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$合同）
定義	存在可逆矩陣$\mathbf{P},\mathbf{Q}$，使$\mathbf{B}=\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}$	存在可逆矩陣$\mathbf{P}$，使$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}$	存在可逆矩陣$\mathbf{C}$，使$\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}$
核心本質	矩陣經初等變換可互化（體現秩的一致性）	線性變換在不同基下的矩陣表示（保持特征值等核心屬性）	二次型經可逆線性變換的等價性（保持正定性等慣性性質）
充要條件	同型且秩相等：$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$	① 特征值完全相同（含重數）； ② 存在可逆矩陣$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且${\mathbf{P}}^{?1}=\mathbf{Q}$（特殊等價）	① 均為實對稱矩陣且慣性指數相同（正、負慣性指數分別相等）； ② 存在可逆矩陣$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且${\mathbf{P}}^{\text{T}}=\mathbf{Q}$（特殊等價）
包含關系	等價是最寬泛的關系： 相似$?$等價，合同$?$等價（實對稱矩陣中相似$?$合同）	相似矩陣必等價，但等價矩陣不一定相似； 實對稱矩陣相似必合同，但合同不一定相似	合同矩陣必等價，但等價矩陣不一定合同； 實對稱矩陣合同$?$相似（特征值可不同）
不變量	矩陣的秩$r(\mathbf{A})$	特征值、行列式、跡、秩、可逆性	慣性指數（正慣性指數$p$、負慣性指數$q$）、秩、對稱性（若原矩陣對稱）
適用場景	矩陣秩的比較、方程組同解性等	特征值與特征向量、矩陣對角化、線性變換等	二次型化簡、正定性判定、曲面分類等
示例	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$與$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$等價（秩均為1）	$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$與$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$相似（特征值均為1）	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ?1\end{array}\right)$與$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& ?3\end{array}\right)$合同（慣性指數均為$p=1,q=1$）