1 簡介

為了有效地利用霧狀冰生長的物理現象，最近開發了一種優化算法——霧狀優化算法（RIME）。它模擬硬霧狀和軟霧狀過程，構建硬霧狀穿刺和軟霧狀搜索機制。在本研究中，引入了一種增強版本，稱為修改的RIME（MRIME），集成了多項式微分學習算子（PDLO）。與傳統的RIME方法相比，PDLO的加入給RIME算法引入了非線性，提高了其適應性、收斂速度和全局搜索能力。

2. MRIME算法

RIME算法從自然過程，特別是軟冰晶和硬冰晶的生長中汲取靈感，設計了其優化策略。冰晶粒子的位置代表搜索空間中的解向量。它通過兩個階段模擬相關的環境條件：軟冰晶搜索（SRS）和硬冰晶穿刺（HRP）。它需要幾個關鍵步驟來執行優化，如下所示。

2.1 冰晶初始化階段

種群由$N_m$個冰晶代理初始化，每個代理表示為$D$維的冰晶粒子。在初始化過程中采用隨機搜索來確定搜索空間中冰晶粒子的位置。因此，冰晶代理種群，表示為$R_{POP}$，由單個冰晶粒子的位置表示為$R_{Mij}$，如公式(10)所示。

$$R_{POP}=[R_{Mij}{]}_{N_m\times D}=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{M1,1}& R_{M1,2}& ?& R_{M1,D}\\ R_{M2,1}& R_{M2,2}& ?& R_{M2,D}\\ ?& ?& ?& ?\\ R_{M{N}_m,1}& R_{M{N}_m,2}& ?& R_{M{N}_m,D}\end{array}\right]$$

其中$R_{POP}$是種群矩陣，由冰晶代理的向量組成（$N_m\times 1$），每個冰晶代理向量由幾個設計參數（$1\times D$）組成。

這些位置受到限制，具有上限（$U{p}_j$）和下限（$L{o}_j$）邊界，定義了每個維度的允許范圍。采用許多基于種群的算法中觀察到的傳統方法，冰晶種群在初始階段通過隨機搜索過程進行初始化。初始化期間位置$R_{Mij}$的結果表達式如下：

$$R_{Mij}=L{o}_j+r_{d_j}?(U{p}_j?L{o}_j),i=1:N_m,j=1:D,$$

其中$r_{d_j}$是范圍[0, 1]內隨機選擇的數字。

2.2 SRS階段

算法模擬冰晶粒子在物體表面凍結的過程，模擬軟冰晶的生長過程。冰晶代理在風和自身隨機性的驅動下在搜索空間中移動，確保在早期迭代中廣泛覆蓋。冰晶代理的位置更新由以下公式確定，該公式包括最佳冰晶代理的位置、環境因素和隨機性：

$$R_{mj}=R_{mbest,j}+r_{d_2}?\beta ?\cos (\theta )?(AD?(U{p}_j?L{o}_j)+L{o}_j),\text{if?}{r}_{d_2}<E,$$

其中粘附度（$AD$）表征最佳冰晶代理與隨機選擇的冰晶代理之間的接近程度，$AD$限制在范圍[0, 1]內。修改后的第$i$個冰晶代理在SRS階段后的維度$j$的位置，表示為$R_{mj}$，基于最佳冰晶代理的位置$R_{mbest,j}$確定。方向控制由$r_{d_2}$和$\cos (\theta )$的插值控制，其中$r_{d_2}$是范圍[-1, 2]內的隨機數。此外，$r_{d_2}$是范圍[0, 1]內的隨機數，$\theta$在公式(13)中定義。

$$\theta =\pi \left(\frac{t}{10?T_{max}}\right),$$

在這種情況下，符號“$t$”表示迭代計數索引，而“$T_{max}$”表示總迭代次數。

環境因子，表示為“$\beta$”，模擬外部條件并確保冰晶種群的收斂，如公式(14)所示。

$$\beta =1?\frac{1}{\omega }?\left(\frac{1}{\text{round}\left(\frac{\omega ?t}{T_{max}}\right)}\right),$$

函數“round”用于四舍五入數值，參數“$\omega$”用于調節步進函數的分割，默認值為5，如文獻[29]所述。此外，變量“$r_{d_3}$”是范圍[0, 1]內的隨機數，“$E$”表示粘附系數，影響冰晶代理的凝聚概率。粘附系數隨著整個搜索過程的迭代次數逐漸增加，如下所示：

$$E={\left(\frac{t}{T_{max}}\right)}^{1/2},$$$

在強風條件下，算法模擬硬冰晶粒子的更簡單和更規則的生長。HRP機制促進了代理之間的信息交換，以提高收斂性和跳出局部最優的能力，如下所示：

$$R_{m\_new,ij}=\{\begin{array}{ll}{R}_{mbest,j}& r_{d_4}<Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})\\ R_{mj}& \text{Else}\end{array},i=1:N_m,j=1:D,$$

其中$R_{m\_new,ij}$表示第$i$個冰晶代理在維度$j$中的新創建位置，而“$r_{d_4}$”是范圍[0, 1]內的隨機數。如所示，冰晶代理的位置根據適應度值和歸一化適應度值（$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})$）進行更新，促進了代理之間的交叉。

$$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})=\frac{Fit(R_{m_i})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^{N_m}(Fit(R_{m_i}){)}^2}},$$

其中$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})$是關于冰晶代理$i$的當前位置的適應度函數值。

2.4 提出的PLDO整合

在本文中，PLDO被整合以增強RIME算法的搜索能力和多樣性。PLDO通常用于優化中的差分進化（DE）算法[44]。該算子通過合并兩個隨機選擇的個體的信息來增強種群多樣性，以更新當前冰晶代理的位置。PLDO是DE的擴展，通過適應突變策略來放大搜索空間內的探索和開發。PLDO中的突變公式結合了多項式函數，將非線性特性注入突變操作中。為了執行整合的PLDO，從種群中抽取兩個隨機整數（$index1$和$index2$）。隨后，新派生的冰晶代理$i$的位置可以公式化為：

$$R_{m\_new}=R_{m_i}+??(R_{m_{index1}}?R_{m_{index2}}),i=1:N_m,$$

其中$?$是范圍[0, 1]內生成的隨機數。因此，更新涉及兩個隨機選擇的元素（$R_{m_{index1}}$和$R_{m_{index2}}$）之間的加權差異，而權重$?$控制這種差異對更新的貢獻。

2.5 正向貪婪選擇（PGS）階段

在生成HRP-SRS階段（公式(12)和(16)）或PLDO（公式(18)）中的冰晶粒子的新位置后，PGS機制用于比較更新前后的適應度值。如果更新后的適應度更好，則用次優解替換最優解，從而增強全局解的質量。該機制在更新過程中積極替換代理，以確保更優的種群進化。

2.6 迭代過程

圖3a,b展示了標準RIME與所提出的MMIME優化器的主要步驟，其中整個過程在預定的迭代次數（$I_{max}$）內交替執行。在每次迭代中，所提出的MMIME利用SRS和HRP階段或PLDO機制更新冰晶代理的位置，評估適應度值，并執行PGS。在所提出的MMIME中，引入PLDO，包含多項式函數，使每個突變向量組件的影響得到精細控制，為探索過程提供靈活性。通過排列引入的隨機性增加了搜索空間探索的有效性。種群中的最佳冰晶代理由最佳適應度值確定，并作為優化問題的解決方案輸出。

function [Best_rime_rate,Best_rime,Convergence_curve]=MRIME(N,Max_iter,lb,ub,dim)
% disp('RIME is now tackling your problem')
% initialize positionBest_rime=zeros(1,dim);
Best_rime_rate=inf;%change this to -inf for maximization problemsRimepop=initialization(N,dim,ub,lb);%Initialize the set of random solutions
Lb=lb.*ones(1,dim);% lower boundary
Ub=ub.*ones(1,dim);% upper boundary
it=1;%Number of iterations
Convergence_curve=zeros(1,Max_iter);
Rime_rates=zeros(1,N);%Initialize the fitness value
newRime_rates=zeros(1,N);
W = 5;%Soft-rime parameters, discussed in subsection 4.3.1 of the paper%Calculate the fitness value of the initial position
for i=1:N%     Rime_rates(1,i)=fobj(Rimepop(i,:));%Calculate the fitness value for each search agentx=Rimepop(i,:);[Im,Vm]=IVload;Iph=x(1);I0=x(2);Rs=x(3);Rsh=x(4);n=x(5);I02=x(6);n2=x(7);k = 1.380649e-23;T = 306.15;q = 1.602176634e-19;Vth= k*T/q;Ns=1;a=n*Vth*Ns;a2=n2*Vth*Ns;I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));Rime_rates(1,i)=fit_I;%Make greedy selectionsif Rime_rates(1,i)<Best_rime_rateBest_rime_rate=Rime_rates(1,i);Best_rime=Rimepop(i,:);end
end
% Main loopwhile it <= Max_iter%     itRimeFactor = (rand-0.5)*2*cos((pi*it/(Max_iter*10)))*(1-round(it*W/Max_iter)/W);%Parameters of Eq.(3),(4),(5)E =sqrt(it/Max_iter);%Eq.(6)newRimepop = Rimepop;%Recording new populationsnormalized_rime_rates=normr(Rime_rates);%Parameters of Eq.(7)if rand>0.5for i=1:Nfor j=1:dim%Soft-rime search strategyr1=rand();if r1< EnewRimepop(i,j)=Best_rime(1,j)+RimeFactor*((Ub(j)-Lb(j))*rand+Lb(j));%Eq.(3)endendendelsefor i=1:NnewRimepop(i,:)=newRimepop(i,:)+rand*(newRimepop(randperm(N,1),:)-newRimepop(randperm(N,1),:));endendfor i=1:Nfor j=1:dim%Hard-rime puncture mechanismr2=rand();if r2<normalized_rime_rates(i)newRimepop(i,j)=Best_rime(1,j);%Eq.(7)endendendfor i=1:N%Boundary absorptionFlag4ub=newRimepop(i,:)>ub;Flag4lb=newRimepop(i,:)<lb;newRimepop(i,:)=(newRimepop(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;x=newRimepop(i,:);[Im,Vm]=IVload;Iph=x(1);I0=x(2);Rs=x(3);Rsh=x(4);n=x(5);I02=x(6);n2=x(7);k = 1.380649e-23;T = 306.15;q = 1.602176634e-19;Vth= k*T/q;Ns=1;a=n*Vth*Ns;a2=n2*Vth*Ns;I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));newRime_rates(1,i)=fit_I;%Positive greedy selection mechanismif newRime_rates(1,i)<Rime_rates(1,i)Rime_rates(1,i) = newRime_rates(1,i);Rimepop(i,:) = newRimepop(i,:);if newRime_rates(1,i)< Best_rime_rateBest_rime_rate=Rime_rates(1,i);Best_rime=Rimepop(i,:);endendendConvergence_curve(it)=Best_rime_rate;it=it+1;
end

Hakmi S.H., Alnami H., Moustafa G., et al. Modified Rime-Ice Growth Optimizer with Polynomial Differential Learning Operator for Single-and Double-Diode PV Parameter Estimation Problem. Electronics. 2024, 13(9): 1611.