一個基于連續時間多智能體系統（Multi-Agent Systems, MAS）的一階一致性協議的MATLAB仿真代碼，包含網絡拓撲建模、一致性協議設計和收斂性分析。代碼支持固定拓撲和時變拓撲，適用于學術研究。

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1. 基礎模型與代碼框架

(1) 網絡拓撲建模（圖論）

假設有 (N) 個智能體，通過無向圖 (G = (V, E)) 連接，鄰接矩陣為 (A)，度矩陣為 (D)，拉普拉斯矩陣 (L = D - A)。

% 生成一個包含5個節點的環形拓撲
N = 5;
A = zeros(N, N);
for i = 1:NA(i, mod(i, N)+1) = 1;A(mod(i, N)+1, i) = 1;
end
L = diag(sum(A, 2)) - A; % 拉普拉斯矩陣

參考代碼

(2) 一階一致性協議

智能體動態模型：
[
\dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}i} (x_i(t) - x_j(t))
]
目標：所有 (x_i(t)) 收斂到初始狀態的均值 (\bar{x} = \frac{1}{N}\sum{i=1}^N x_i(0)).

% 初始狀態
x0 = [3; -1; 4; 0; 2]; % 每個智能體的初始狀態% 仿真參數
tspan = [0 10]; % 時間范圍
dt = 0.01;      % 時間步長% 定義動力學方程
odefun = @(t, x) -L * x;
[t, x] = ode45(odefun, tspan, x0);% 繪制收斂曲線
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x_i(t)');
title('一階一致性協議收斂過程');
grid on;

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2. 離散時間一致性協議

若需離散時間模型（如通信間隔固定）：
[
x_i(k+1) = x_i(k) + \epsilon \sum_{j \in \mathcal{N}i} (x_j(k) - x_i(k))
]
其中 (\epsilon) 為步長參數（需滿足 (0 < \epsilon < 1/\Delta{\text{max}})，(\Delta_{\text{max}}) 為最大節點度）。

% 參數設置
epsilon = 0.1;  % 需滿足收斂條件
max_iter = 100; % 最大迭代次數% 初始化
x = x0;
x_history = zeros(N, max_iter+1);
x_history(:, 1) = x0;% 離散時間迭代
for k = 1:max_iterx = x - epsilon * L * x;x_history(:, k+1) = x;
end% 繪制結果
figure;
plot(0:max_iter, x_history');
xlabel('Iteration');
ylabel('State x_i(k)');
title('離散時間一致性協議收斂過程');

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3. 含領導者的分層一致性

假設存在一個領導者（編號為1），其他智能體跟蹤領導者狀態：
[
\dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}i} (x_i - x_j) - b_i (x_i - x{\text{leader}})
]
其中 (b_i = 1) 表示智能體 (i) 能直接接收領導者信息，否則 (b_i = 0).

% 定義領導者狀態（假設為常數）
x_leader = 5;% 構建反饋矩陣 B
B = diag([1, 0, 0, 0, 0]); % 只有智能體1能觀測到領導者% 修改拉普拉斯矩陣為 L + B
L_leader = L + B;% 動力學方程
odefun_leader = @(t, x) -L_leader * x + B * x_leader * ones(N, 1);
[t_leader, x_leader_sim] = ode45(odefun_leader, tspan, x0);% 繪制結果
figure;
plot(t_leader, x_leader_sim);
hold on;
plot(t_leader, x_leader*ones(size(t_leader)), 'k--', 'LineWidth', 2);
title('含領導者的分層一致性');
legend('Agent 1', 'Agent 2', 'Agent 3', 'Agent 4', 'Agent 5', 'Leader');

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4. 時變拓撲一致性

模擬動態變化的網絡拓撲（如隨機切換的通信鏈路）：

% 生成兩個不同的拓撲（示例：環形和星型）
A1 = A; % 環形拓撲（之前的鄰接矩陣）
A2 = [0 1 1 1 1;  % 星型拓撲（中心節點1）1 0 0 0 0;1 0 0 0 0;1 0 0 0 0;1 0 0 0 0];
L1 = diag(sum(A1,2)) - A1;
L2 = diag(sum(A2,2)) - A2;% 定義時變拓撲函數（每2秒切換一次）
L_time_varying = @(t) (mod(t,4) < 2) * L1 + (mod(t,4) >= 2) * L2;% 動力學方程（使用ode45）
odefun_tv = @(t, x) -L_time_varying(t) * x;
[t_tv, x_tv] = ode45(odefun_tv, tspan, x0);% 繪制結果
figure;
plot(t_tv, x_tv);
title('時變拓撲下的一致性收斂');

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5. 收斂性分析

(1) 理論驗證

• 連續系統：拉普拉斯矩陣 (L) 的特征值決定收斂速度。若圖連通，則 (L) 有單個零特征值，其余特征值實部正。
• 離散系統：需滿足 ( \epsilon < \frac{2}{\lambda_{\text{max}}(L)} ).

% 計算拉普拉斯矩陣特征值
eig_L = eig(L);
disp('拉普拉斯矩陣特征值:');
disp(eig_L);% 驗證離散系統收斂條件
lambda_max = max(eig(L));
epsilon_max = 2 / lambda_max;
fprintf('離散系統允許的最大步長: %.4f\n', epsilon_max);

(2) 數值驗證

• 檢查最終狀態是否收斂到初始均值：

final_states = x(end, :);
mean_initial = mean(x0);
disp(['理論均值: ', num2str(mean_initial)]);
disp(['仿真終值: ', num2str(mean(final_states))]);

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6. 擴展功能與改進方向

1. 高階一致性（二階動力學）：

   % 二階模型：位置和速度一致性
   % 狀態向量為 [x1, v1, x2, v2, ..., xN, vN]^T
   L_kron = kron(L, [0 0; 1 1]); % 擴展拉普拉斯矩陣
   odefun_second_order = @(t, z) [z(2:2:end); -L_kron * z];
   

2. 時延補償：在協議中加入通信時延項：
   [
   \dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}_i} (x_i(t-\tau) - x_j(t-\tau))
   ]
   使用 dde23 求解時延微分方程。

3. 魯棒一致性：考慮噪聲或不確定性的影響：

   odefun_noise = @(t, x) -L * x + 0.1*randn(N,1);
   

4. 分布式事件觸發控制：減少通信頻率：

   % 定義事件觸發條件（例如狀態誤差超過閾值）
   event_threshold = 0.01;
   

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7. 完整代碼示例（一階連續系統）

% 多智能體一致性仿真（基礎版）
clc; clear; close all;% 1. 網絡拓撲生成（隨機圖）
N = 6;                          % 智能體數量
A = rand(N,N) > 0.7;            % 隨機鄰接矩陣（概率0.7連接）
A = triu(A,1) + triu(A,1)';     % 對稱化
A(1:N+1:end) = 0;               % 去除自環
L = diag(sum(A,2)) - A;         % 拉普拉斯矩陣% 2. 初始狀態
x0 = 10*randn(N,1);             % 隨機初始狀態% 3. 仿真參數
tspan = [0 15];
options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-9);% 4. 求解微分方程
[t, x] = ode45(@(t,x) -L*x, tspan, x0, options);% 5. 繪制結果
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State');
title('多智能體一致性仿真');
grid on;% 6. 驗證收斂到均值
final_mean = mean(x(end,:));
initial_mean = mean(x0);
fprintf('初始均值: %.4f\n終值均值: %.4f\n', initial_mean, final_mean);

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代碼輸出說明

• 圖1：各智能體狀態隨時間收斂到一致值。
• 終端輸出：顯示初始均值與仿真終值均值，驗證收斂正確性。

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參考文獻

1. Olfati-Saber, R., & Murray, R. M. (2004). Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays. IEEE Transactions on Automatic Control.
2. Ren, W., & Beard, R. W. (2008). Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control. Springer.

通過修改網絡拓撲、協議參數或動力學模型，可擴展此代碼用于復雜場景研究（如無人機編隊、智能電網頻率同步等）。