一、視圖空間的基礎數學框架

1.1 齊次坐標與變換矩陣

三維坐標系變換采用4×4齊次坐標矩陣，其通用形式為：
$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{3\times 3}& {\mathbf{b}}_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]$$
其中：

• $\mathbf{A}$ 包含旋轉、縮放變換
• $\mathbf{b}$ 為平移向量
• 坐標點表示為 $(x,y,z,1{)}^T$

1.2 相機參數化表示

相機狀態由六自由度參數定義：

• 位置坐標：$\mathbf{C}=(X,Y,Z)$
• 歐拉角：$({\theta }_x,{\theta }_y,{\theta }_z)$（俯仰、偏航、滾動）
• 縮放因子：$s$

---

二、相機坐標系變換原理

2.1 剛體變換分解

2.1.1 平移變換矩陣

將世界坐標原點平移至相機位置：
$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& ?X\\ 0& 1& 0& ?Y\\ 0& 0& 1& ?Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.1.2 旋轉變換矩陣

構造基于觀察方向的正交基：

1. 前向向量：$\mathbf{f}=\frac{\mathbf{g}}{\Vert \mathbf{g}\Vert }$
2. 右向向量：$\mathbf{r}=\frac{\mathbf{t}\times \mathbf{f}}{\Vert \mathbf{t}\times \mathbf{f}\Vert }$
3. 上向向量：$\mathbf{u}=\mathbf{f}\times \mathbf{r}$

旋轉矩陣的解析形式：
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{r}_x& r_y& r_z& 0\\ u_x& u_y& u_z& 0\\ ?f_x& ?f_y& ?f_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.2 視圖矩陣合成

組合平移與旋轉得到視圖矩陣：
$${\mathbf{M}}_{view}=\mathbf{R}?\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{r}& ?\mathbf{r}?\mathbf{C}\\ \mathbf{u}& ?\mathbf{u}?\mathbf{C}\\ ?\mathbf{f}& \mathbf{f}?\mathbf{C}\\ 0& 1\end{array}\right]$$

---

三、投影變換原理

3.1 正交投影

3.1.1 規范視體定義

正交投影將立方體視體映射到規范立方體[-1,1]3：
$${\mathbf{M}}_{ortho}=$$