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TOPSIS方法：多準則決策的幾何解析

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution ）由Yoon和Hwang于1981年提出，是經典多準則決策（MCDM）方法。其核心邏輯是：將決策問題映射到$n$維空間（$n$為準則數量 ），通過計算方案與“正理想解”“負理想解”的距離，篩選最接近正理想解、最遠離負理想解的方案，實現復雜決策的量化排序。

一、核心步驟與公式（附變量解釋）

1. 輸入定義

• 決策矩陣：設方案數為$m$、準則數為$n$，原始矩陣記為$\mathbf{X}=(x_{ij}{)}_{m\times n}$。其中$x_{ij}$表示第$i$個方案在第$j$個準則下的原始值（如“方案1的成本值” ）。
• 準則權重：記為$\mathbf{W}=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$，滿足${\sum }_{j=1}^n{w}_j=1$。$w_j$表示第$j$個準則的重要性（如“成本準則權重0.3，說明成本占30%決策權重” ）。

2. 步驟1：歸一化決策矩陣（消除量綱）

通過向量歸一化統一量綱，公式：
$${\bar{x}}_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$$

• 變量：${\bar{x}}_{ij}$是第$i$個方案在第$j$個準則下的歸一化值，輸出區間$[0,1]$，解決不同準則單位差異問題（如“成本（元）”與“效率（件/時）”無法直接比較 ）。

3. 步驟2：加權歸一化（融合準則權重）

結合準則權重調整歸一化值，公式：
$$V_{ij}={\bar{x}}_{ij}\times w_j$$

• 變量：$V_{ij}$是第$i$個方案在第$j$個準則下的加權歸一化值，體現“準則重要性對方案表現的放大/縮小”（如“高權重準則的方案值，對決策結果影響更強” ）。

4. 步驟3：確定理想解（正/負）

• 正理想解$A^{+}$：各準則的最優值，公式：
  $$A_j^{+}=\{\begin{array}{ll}{\max }_i{V}_{ij}& \text{（準則?}j\text{?為最大化目標，如“利潤”）}\\ {\min }_i{V}_{ij}& \text{（準則?}j\text{?為最小化目標，如“成本”）}\end{array}$$

  • 變量：$A_j^{+}$是第$j$個準則下的“最優表現”（如“所有方案中成本最低值” ）。

• 負理想解$A^{?}$：各準則的最劣值，與正理想解相反，公式：
  $$A_j^{?}=\{\begin{array}{ll}{\min }_i{V}_{ij}& \text{（準則?}j\text{?為最大化目標）}\\ {\max }_i{V}_{ij}& \text{（準則?}j\text{?為最小化目標）}\end{array}$$

  • 變量：$A_j^{?}$是第$j$個準則下的“最劣表現”（如“所有方案中成本最高值” ）。

5. 步驟4：計算距離（理想解的遠近）

• 到正理想解的距離$d_i^{+}$：
  $$d_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(V_{ij}?A_j^{+}{)}^2}$$

  • 變量：$d_i^{+}$是第$i$個方案到正理想解的歐氏距離，距離越大，方案離“最優表現”越遠。

• 到負理想解的距離$d_i^{?}$：
  $$d_i^{?}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(V_{ij}?A_j^{?}{)}^2}$$

  • 變量：$d_i^{?}$是第$i$個方案到負理想解的歐氏距離，距離越大，方案離“最劣表現”越遠。

6. 步驟5：計算貼近度（方案優劣排序）

貼近度反映方案與正理想解的相對接近程度，公式：
$$C_i=\frac{d_i^{?}}{d_i^{+}+d_i^{?}}$$

• 變量：$C_i\in [0,1]$，值越大表示第$i$個方案越接近正理想解、越遠離負理想解，方案越優。最終按$C_i$降序排序，確定方案優先級。

二、關鍵特點與優勢

1. 幾何直觀性：將決策映射到$n$維空間，用“距離理想解的遠近”排序，邏輯清晰（如二維場景可類比平面上點與“最優/最劣點”的距離比較 ）。
2. 混合準則支持：兼容最大化、最小化目標（僅需在確定$A^{+}$、$A^{?}$時區分準則類型 ），覆蓋“利潤最大化+成本最小化”等復雜場景。
3. 計算簡潔性：基于歐氏距離和加權歸一化，流程明確，手工或編程均可快速實現。

三、示例解析（簡化場景：2方案×2準則）

假設場景：2個方案（桂林、黃山 ）、2個準則（景色：最大化，權重0.6；費用：最小化，權重0.4 ），原始矩陣$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cc}9& 7\\ 8& 6\end{array}\right]$（桂林：景色9、費用7；黃山：景色8、費用6 ）。

1. 歸一化（消除量綱）

$$\begin{gathered} {\bar{x}}_{11}=\frac{9}{\sqrt{9^2+8^2}}\approx 0.676,{\bar{x}}_{12}=\frac{7}{\sqrt{7^2+6^2}}\approx 0.714 \\ {\bar{x}}_{21}=\frac{8}{\sqrt{9^2+8^2}}\approx 0.606,{\bar{x}}_{22}=\frac{6}{\sqrt{7^2+6^2}}\approx 0.618 \end{gathered}$$

2. 加權歸一化（融合權重）

$$\begin{gathered} V_{11}=0.676\times 0.6\approx 0.406,V_{12}=0.714\times 0.4\approx 0.286 \\ {V}_{21}=0.606\times 0.6\approx 0.364,V_{22}=0.618\times 0.4\approx 0.247 \end{gathered}$$

3. 確定理想解

• 景色（最大化）：$A_1^{+}=0.406$（桂林）、$A_1^{?}=0.364$（黃山）
• 費用（最小化）：$A_2^{+}=0.247$（黃山）、$A_2^{?}=0.286$（桂林）

4. 計算距離與貼近度

• 桂林：$d_1^{+}\approx 0.039$（到正理想解距離）、$d_1^{?}\approx 0.042$（到負理想解距離），$C_1\approx 0.518$
• 黃山：$d_2^{+}\approx 0.042$（到正理想解距離）、$d_2^{?}\approx 0.039$（到負理想解距離），$C_2\approx 0.482$

5. 排序結論

因$C_1>C_2$，桂林更接近正理想解，為更優方案。

四、方法對比與適用場景

方法	核心邏輯	適用場景	局限性
TOPSIS	距離理想解的相對接近度	數據分布均勻、混合準則場景	對異常值敏感
VIKOR	妥協解（平衡群體效用與遺憾）	需多方協商的復雜決策	計算稍復雜
AHP	成對比較確定權重	權重確定階段	主觀依賴強
COPRAS	區分準則類型的相對顯著性	成本敏感型決策	最小化準則影響突出

五、總結

TOPSIS 以幾何直觀性、混合準則兼容性、計算簡潔性為核心優勢，適合工程評估、項目優選等場景。其本質是將定性決策轉化為“距離比較”的定量問題，通過$C_i$實現方案排序。需注意：若數據存在異常值（如極端大/小值 ），需預處理（如離群值修正 ），否則可能影響結果可靠性。

簡單示例

下面是一個使用TOPSIS優化方法的MATLAB實現，包含完整計算流程和可視化功能。這個示例解決了一個經典的"供應商選擇"問題，通過TOPSIS方法在多個準則下對備選方案進行排序和選擇。

%% TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）優化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定義問題數據
% 備選方案（供應商）
alternatives = {'供應商A', '供應商B', '供應商C', '供應商D', '供應商E'};
num_alternatives = length(alternatives);% 評價準則
criteria = {'價格', '質量', '交貨期', '服務水平', '環保性'};
num_criteria = length(criteria);% 準則權重（可通過AHP等方法確定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 決策矩陣（方案在各準則下的表現）
% 注："價格"為最小化準則，其余為最大化準則
decision_matrix = [80, 7, 9, 8, 7;    % 供應商A90, 8, 7, 9, 8;    % 供應商B70, 9, 6, 7, 9;    % 供應商C60, 6, 8, 6, 6;    % 供應商D85, 7, 10, 8, 8;   % 供應商E
];% 標記準則類型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [0, 1, 1, 1, 1];%% 2. TOPSIS計算流程
% 步驟1：歸一化決策矩陣（向量歸一化）
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化準則normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / norm(decision_matrix(:,j));else  % 最小化準則normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);normalized_matrix(:,j) = normalized_matrix(:,j) / norm(normalized_matrix(:,j));end
end% 步驟2：加權歸一化矩陣
weighted_matrix = normalized_matrix .* repmat(weights, num_alternatives, 1);% 步驟3：確定正理想解和負理想解
positive_ideal = zeros(1, num_criteria);
negative_ideal = zeros(1, num_criteria);
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化準則positive_ideal(j) = max(weighted_matrix(:,j));negative_ideal(j) = min(weighted_matrix(:,j));else  % 最小化準則positive_ideal(j) = min(weighted_matrix(:,j));negative_ideal(j) = max(weighted_matrix(:,j));end
end% 步驟4：計算到正理想解和負理想解的距離
d_plus = zeros(num_alternatives, 1);
d_minus = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesd_plus(i) = norm(weighted_matrix(i,:) - positive_ideal);d_minus(i) = norm(weighted_matrix(i,:) - negative_ideal);
end% 步驟5：計算相對貼近度
relative_closeness = d_minus ./ (d_plus + d_minus);% 步驟6：排序
[closeness_sorted, sort_idx] = sort(relative_closeness, 'descend');%% 3. 可視化結果
% 3.1 決策矩陣熱圖
figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始決策矩陣');
xlabel('準則');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10);end
end% 3.2 準則權重餅圖
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('準則權重分布');% 3.3 距離和貼近度對比圖
subplot(2, 2, 3);
bar_width = 0.25;
x = 1:num_alternatives;
bar(x - bar_width, d_plus, bar_width, 'r', 'DisplayName', '到正理想解的距離');
hold on;
bar(x, d_minus, bar_width, 'g', 'DisplayName', '到負理想解的距離');
bar(x + bar_width, relative_closeness, bar_width, 'b', 'DisplayName', '相對貼近度');
hold off;
title('距離和貼近度對比');
xlabel('方案');
ylabel('值');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
legend;
grid on;% 3.4 TOPSIS排序結果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, closeness_sorted);
title('TOPSIS排序結果');
xlabel('相對貼近度 (越大越好)');
ylabel('方案 (按排名)');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
grid on;% 添加標簽顯示具體貼近度值
for i = 1:num_alternativestext(closeness_sorted(i)+0.01, i, sprintf('%.4f', closeness_sorted(i)), 'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle');
end%% 4. 輸出結果
fprintf('\n===== TOPSIS優化結果匯總 =====\n');
fprintf('\n1. 準則權重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 各方案評估結果:\n');
fprintf('   方案\t\t正理想解距離\t負理想解距離\t相對貼近度\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s\t%.4f\t\t%.4f\t\t%.4f\n', alternatives{i}, d_plus(i), d_minus(i), relative_closeness(i));
endfprintf('\n3. TOPSIS推薦排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (貼近度: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, closeness_sorted(i));
end

代碼說明：

1. 問題定義：

   • 5個備選方案（供應商A-E）
   • 5個評價準則：價格、質量、交貨期、服務水平、環保性
   • 準則權重：通過專家判斷或AHP方法預先確定
   • 準則類型："價格"為最小化準則，其余為最大化準則

2. TOPSIS計算流程：

   • 歸一化處理：針對不同類型準則采用不同歸一化方法
   • 加權處理：結合準則權重調整歸一化后的決策矩陣
   • 確定理想解：分別計算正理想解和負理想解
   • 計算距離：計算各方案到正理想解和負理想解的歐氏距離
   • 計算相對貼近度：綜合距離指標得到最終評分
   • 排序：按相對貼近度降序排列

3. 可視化功能：

   • 決策矩陣熱圖：直觀展示原始數據
   • 準則權重餅圖：顯示各準則重要性分布
   • 距離和貼近度對比圖：橫向比較各方案在不同指標下的表現
   • TOPSIS排序結果：按相對貼近度從高到低展示

4. 結果輸出：

   • 詳細列出各方案的距離指標和相對貼近度
   • 給出推薦排序結果

運行結果