2025認證杯數學建模第二階段思路+模型+代碼，詳細內容見文末名片

一、問題重述

1.1 問題背景

在浩瀚無垠的宇宙中，近地小行星（NEAs）宛如一顆顆神秘的“太空子彈”，其軌道相對接近地球，給我們的藍色星球帶來潛在威脅。2025 年“認證杯”數學中國數學建模網絡挑戰賽第二階段 A 題，就聚焦于小行星軌跡預測這一關鍵領域。

近地小行星正式定義為橢圓軌道近日距不大于 1.3 天文單位（AU）的小行星。其中，那些軌道與地球軌道最近距離小于 0.05AU 且直徑大于 140 米的小行星，被貼上了“潛在威脅小行星”的標簽。一旦這些“危險分子”與地球相撞，后果不堪設想，將引發巨大災難，如同宇宙間的一場滅頂之災。

為了提前監測這些可能與地球相撞的小行星，天文學家們如同敏銳的宇宙衛士，愈發關注小行星軌跡的預報問題。小行星中心（MPC）作為國際天文學聯合會下屬的重要機構，肩負著接收和分發小行星、彗星以及大行星外部不規則自然衛星位置測量數據的重任。眾多天文臺紛紛將觀測數據匯聚于此，MPC 每日精心發布當天的觀測數據匯總，以及對未來若干天觀測情況的預報，這些寶貴的數據可從其官網 https://minorplanetcenter.net/data?下載。此外，還有許多其他網站也整合了若干天文臺的觀測數據，為我們的研究提供了豐富的參考。

在不久前，一顆臨時編號為 2024 YR4 的小行星，因其預測軌道將極為接近地球，瞬間成為眾人矚目的焦點，引發了廣泛關注。不過，經過天文學家們持續的密切觀測，最終證實它與地球并無相撞風險。在解決本次競賽問題時，我們既可以此作為典型算例，也能自行挑選其他小行星展開研究。所需數據除了從 MPC 官網獲取，還可從太陽系小天體軌道與觀測仿真平臺 小行星2024 YR4的基本參數 - 太陽系小天體軌道與觀測仿真平臺?查閱。

1.2 提取的各項問題

1. 第一階段問題 1：想象一下，多個地面天文臺站如同分布在地球各處的“宇宙眼睛”，在同一時間齊刷刷地望向同一顆小行星，并迅速給出觀測目標的方位角以及高度角。現在，我們的任務是構建合理的數學模型，精準確定這顆小行星與地球的相對距離，并清晰給出模型及計算方法。這就好比要在復雜的宇宙空間中，搭建一座精確的“距離橋梁”，連接起地球與小行星。
2. 第一階段問題 2：不同天文臺持續跟蹤觀測某顆小行星，如同忠誠的衛士緊緊跟隨目標，不斷給出多次觀測數據。我們需要在此基礎上建立合理數學模型，對其短期（從觀測日開始的 15 或 30 天內）的軌道進行預測。不過，我們只需預測每天特定時刻（如正午 12:00 或凌晨 0:00 等）各臺站的觀測方位角和高度角即可。這就像是為小行星的短期運動繪制一張精確的“路線草圖”，讓我們提前知曉它在特定時刻的“行蹤”。
3. 第二階段問題 1：根據對某顆近地小行星在不超過三個月時間內的觀測數據，我們要像技藝精湛的工匠一樣，構建合理數學模型，對小行星的軌道進行長期（三個月以上）預測，并給出模型及計算方法。這就如同為小行星規劃一條長遠的“宇宙航線”，讓我們能在更廣闊的時間尺度上掌握它的動態。
4. 第二階段問題 2：預測結果難免會存在誤差，就像再精準的地圖也會有細微偏差。我們要給出預測方法的誤差與觀測時長和預測時間的關系，如同繪制一張“誤差地圖”，清晰展示誤差在不同觀測時長和預測時間下的變化規律，以便更好地評估預測的可靠性。
5. 第二階段問題 3：當觀測到一顆新發現的近地小行星時，我們要迅速運用模型，如同啟動一臺精密的“風險評估機器”，給出此目標未來與地球相撞的概率，為地球的安全提供重要的風險預警。

二、問題分析

2.1 解釋數據作用和意義

1. 第一階段問題 1：多個地面天文臺站同一時間觀測到的小行星方位角、高度角數據，以及臺站的地理坐標（經度、緯度、海拔）和觀測時間，就像是解開小行星與地球相對距離謎題的關鍵密碼。方位角和高度角如同指引方向的箭頭，明確了從臺站觀測小行星的方向；臺站地理坐標則像一把神奇的尺子，用于構建不同坐標系；而觀測時間更是如同時間軸上的刻度，在坐標系轉換等關鍵計算中起著舉足輕重的作用。畢竟，不同時間地球在宇宙中的位置和姿態會發生變化，這直接影響到坐標系的轉換結果。

在數據處理時，我們要像嚴謹的偵探一樣，首先對這些數據進行細致清洗，仔細檢查是否存在異常值。比如，方位角超出 0 - 360°的合理范圍，或者高度角出現負數等情況，一旦發現，就需進行修正或果斷剔除。然后，將方位角和高度角從地平坐標系轉換為地心赤道坐標系，這一步就如同將不同語言的信息翻譯成通用語言，是后續計算的關鍵步驟，而轉換過程中，臺站地理坐標和觀測時間就是不可或缺的“翻譯工具”。
2. 第一階段問題 2：不同天文臺持續跟蹤觀測得到的多次觀測數據，結合問題 1 確定的小行星相對地球的距離和位置，就像一組珍貴的拼圖碎片，共同拼湊出小行星短期軌道預測的完整畫面。多時間點的觀測數據仿佛是小行星運動留下的足跡，能清晰反映其運動趨勢，為計算軌道根數提供有力依據。

在數據處理過程中，我們要像整理書籍一樣，對不同時間點的數據進行有序排序，確保時間順序準確無誤。對于缺失的數據，我們可以像修補破損畫卷一樣，采用線性插值或樣條插值等方法進行巧妙補充。同時，為了讓數據更加“純凈”，減少噪聲干擾，還需對數據進行平滑處理，從而提高軌道預測的精度，讓我們繪制的“路線草圖”更加精準。
3. 第二階段問題 1：近地小行星不超過三個月時間內的觀測數據，宛如一座蘊藏豐富信息的寶藏，是長期軌道預測的重要基石。這些數據記錄了小行星在一段時間內的運動軌跡，通過對它們的深入分析和處理，我們可以像考古學家還原歷史一樣，擬合軌道根數，并充分考慮多種攝動力的影響。

在數據處理時，我們要像分類整理物品一樣，對數據進行細致分類，區分不同類型的觀測數據，如光學觀測、雷達觀測等，因為不同類型的數據就像不同材質的材料，具有不同的誤差特性。同時，為了讓這些“材料”具有可比性，還需對數據進行歸一化處理，為后續的長期軌道預測搭建堅實的數據基礎。
4. 第二階段問題 2：所有與軌道預測相關的數據，包括觀測數據、軌道預測結果等，如同一個裝滿線索的“神秘盒子”，用于深入分析預測方法的誤差與觀測時長和預測時間的關系。觀測數據中的噪聲、初始狀態的不確定性以及攝動力模型的誤差等，就像隱藏在暗處的“搗蛋鬼”，都會影響預測結果的準確性。通過對這些數據的抽絲剝繭般的分析，我們可以建立誤差來源的數學模型，如同繪制一張“誤差成因地圖”，進行誤差傳播分析。在數據處理時，要像拆解復雜機器一樣，對不同來源的誤差進行分離和量化，例如通過統計分析的方法確定測角誤差、時間誤差等的分布特性，從而更好地把握誤差的“脾氣”。
5. 第二階段問題 3：基于長期軌道預測的結果和誤差分析的結果，我們就像手握神奇魔法棒，能夠計算新發現小行星與地球相撞的概率。長期軌道預測結果為我們描繪了小行星的運動軌跡，誤差分析結果則為這條軌跡增添了不確定性信息。在數據處理時，我們要像從眾多可能性中篩選珍寶一樣，對長期軌道預測結果進行采樣，充分考慮誤差的影響，生成多個可能的軌道樣本。然后，對這些樣本進行精心篩選，挑選出與地球軌道可能相交的樣本進行進一步分析，從而得出新發現小行星與地球相撞的概率，為地球的安全提供關鍵的風險評估。

2.2 前后問題的整體邏輯

1. 第一階段問題 1：它是整個問題的基石，如同萬丈高樓的地基。通過多臺站同步觀測確定小行星與地球的相對距離和地心赤道坐標，為后續的軌道預測提供了至關重要的初始位置信息。如果這個基礎打得不牢固，后續的軌道預測就如同在沙灘上建樓，缺乏可靠支撐，一切都將失去意義。
2. 第一階段問題 2：在問題 1 的堅實基礎上，利用多時間點的觀測數據和問題 1 確定的初始位置，如同沿著已有的線索繼續探索，進行短期軌道預測。短期軌道預測的結果就像一個小型的“試驗田”，可以驗證模型在局部時間尺度上的有效性，為長期軌道預測提供寶貴的參考經驗。如果短期軌道預測結果不準確，那就如同指南針出現偏差，可能意味著模型存在問題，需要及時對模型進行調整和優化。
3. 第二階段問題 1：在短期軌道預測的基礎上，如同將探索的范圍從近處擴展到遠方，擴展時間尺度并引入復雜攝動力，實現長期軌道預測。長期軌道預測的結果是后續誤差分析和碰撞概率評估的核心基礎。如果長期軌道預測不準確，就像航行在錯誤的航線上，誤差分析和碰撞概率評估的結果也將變得不可靠，失去實際意義。
4. 第二階段問題 2：對軌道預測模型進行誤差分析，就像給模型做一次全面的“體檢”，量化觀測時長和預測時間對誤差的影響。誤差分析的結果不僅可以用于優化軌道預測模型，提高預測精度，還能為碰撞概率評估提供關鍵的不確定性信息。如果誤差分析不準確，就像醫生誤診，碰撞概率評估的結果將存在較大偏差，無法為我們提供準確的風險預警。
5. 第二階段問題 3：綜合長期軌道預測和誤差分析的結果，如同將各種線索匯聚在一起解開最終謎題，計算新發現小行星與地球相撞的概率，完成最終的安全威脅評估。如果前面的問題解決不好，就像拼圖缺少關鍵碎片，碰撞概率評估的結果將失去意義，無法為我們應對小行星威脅提供有效的決策依據。

2.5 第二階段問題 1 分析

1. 問題起源與相關性：為了更全面地評估近地小行星對地球的潛在威脅，我們需要像繪制一幅更廣闊的宇宙地圖一樣，對其軌道進行長期預測。三個月內的觀測數據為長期軌道預測提供了相對豐富的信息，但長期軌道受到多種攝動力的影響，就像在復雜的水流中航行，需要更復雜的模型和方法。該問題在短期軌道預測的基礎上進行擴展，如同將探索的范圍從近處延伸到遠方，考慮了更多的攝動力因素。
2. 解答思路：
   • 影響因素：攝動力參數化的準確性、數值積分的穩定性、小行星反照率和形狀等參數的不確定性等，就像隱藏在宇宙深處的“神秘力量”，都會影響長期軌道預測的精度。攝動力參數需要假設或反演，存在一定不確定性，就像在迷霧中摸索方向；數值積分過程中，步長控制不當會影響積分的穩定性，如同駕駛汽車時速度控制不好會導致行駛不穩定；小行星反照率和形狀等參數難以準確獲取，會影響太陽光壓建模的準確性，就像制作模型時材料的尺寸不準確會影響模型的質量。
   • 理論基礎：我們要借助最小二乘法原理、卡爾曼濾波理論、太陽光壓建模理論、行星引力建模理論、Yarkovsky 效應理論、蒙特卡羅仿真理論等一系列“強大武器”來應對挑戰。最小二乘法和卡爾曼濾波用于擬合軌道根數，如同在復雜的數據中找到規律；太陽光壓建模、行星引力建模和 Yarkovsky 效應理論用于描述攝動力的影響，就像描繪各種“神秘力量”對小行星運動的作用；蒙特卡羅仿真用于考慮初始狀態和攝動力的不確定性，如同在充滿不確定性的環境中進行多次模擬實驗。
   • 核心變量：輸入為三個月內的觀測數據，這是我們預測的“原材料”；輸出為小行星的長期軌道預測結果，這是我們要打造的“精美產品”。
   • 約束條件：小行星反照率、形狀等參數難以準確獲取，會影響太陽光壓建模的準確性，我們要在模型中合理考慮這些不確定性，如同在制作產品時考慮材料的不穩定性，確保產品的質量。
   • 模型構建：
     • 攝動力建模：
       • 太陽光壓：，其中(\eta)為反射系數，(S)為太陽常數，(c)為光速，(m)為小行星質量，(r)為小行星到太陽的距離，(AU)為天文單位。這個公式就像一個“太陽光壓計算器”，幫助我們計算太陽光壓對小行星的影響。

Yarkovsky 效應：熱參數化模型

1. • • • 其中(D)為直徑，(\alpha)為反照率，(\epsilon)為自轉軸傾角。這就像一個“Yarkovsky 效應解碼器”，揭示了 Yarkovsky 效應對小行星運動的作用機制。
       • 行星攝動：使用 JPL DE430 星歷表插值，對共振項進行特殊處理（如與木星的 2:1 共振）。這就像在復雜的行星運動中找到規律，利用星歷表和特殊處理方法，準確計算行星攝動對小行星軌道的影響。
     • 蒙特卡羅實現：基于觀測協方差矩陣進行初始狀態采樣，對光壓系數進行±20%的參數擾動，對 Yarkovsky 參數進行±50%的參數擾動。使用 DBSCAN 算法進行軌道簇聚類分析。這就像在充滿不確定性的宇宙環境中進行多次模擬實驗，通過采樣和擾動參數，模擬不同情況下小行星的軌道，再利用聚類分析方法找到軌道的規律。
2. 解答過程注意事項：
   • 數據精度：觀測數據的精度就像制作產品的原材料質量，會影響軌道根數的擬合和攝動力模型的準確性，我們要確保數據的質量，如同確保原材料的優質。
   • 模型假設合理性：攝動力模型和蒙特卡羅仿真都有一定的假設，就像搭建舞臺時的設計假設，要確保這些假設在長期軌道預測中的合理性，否則舞臺可能會坍塌。
   • 數值積分穩定性：長期軌道預測需要進行長時間的數值積分，就像長途駕駛汽車，要選擇合適的積分方法和步長，確保積分的穩定性，如同確保汽車在長途行駛中的平穩。
3. 總結：首先使用最小二乘法或卡爾曼濾波，結合三個月內的觀測數據，擬合軌道根數，考慮觀測誤差，就像在復雜的數據中找到規律并修正偏差。然后對太陽光壓、行星引力、Yarkovsky 效應等攝動力進行建模，如同描繪各種“神秘力量”對小行星運動的影響。基于觀測協方差矩陣進行初始狀態采樣，對攝動力參數進行擾動，通過蒙特卡羅仿真生成軌道簇，這就像在充滿不確定性的宇宙環境中進行多次模擬實驗，得到多種可能的軌道情況。最后進行軌道簇聚類分析，得到小行星的長期軌道預測結果，如同從眾多模擬結果中找到最符合實際的軌道。關鍵決策點在于攝動力模型的準確性和蒙特卡羅仿真的參數設置，這就像舞臺設計的關鍵元素，決定了整個長期軌道預測的準確性。

2.6 第二階段問題 2 分析

1. 問題起源與相關性：在進行軌道預測時，預測結果必然存在誤差，就像再完美的藝術品也會有細微瑕疵。了解預測方法的誤差與觀測時長和預測時間的關系，就像繪制一張“誤差變化地圖”，有助于評估預測結果的可靠性，為風險評估提供不確定性依據。該問題是對軌道預測模型的進一步分析，其結果可以用于優化軌道預測模型，提高預測精度，如同對藝術品進行精細打磨。
2. 解答思路：
   • 影響因素：觀測噪聲、初始狀態不確定性、攝動力模型誤差等，就像隱藏在暗處的“誤差制造者”，都會影響預測結果的誤差。觀測噪聲會導致觀測數據的不準確，如同在清晰的畫面上添加了噪點；初始狀態不確定性會影響軌道初值的確定，就像在建造房屋時基礎不夠穩固；攝動力模型誤差會影響軌道預測的精度，如同在導航時使用了不準確的地圖。
   • 理論基礎：我們要依靠誤差來源建模理論、協方差傳播理論、線性化軌道方程理論、蒙特卡羅仿真理論、經驗公式擬合理論等“理論工具”來分析誤差。誤差來源建模用于描述各種誤差的特性，就像給“誤差制造者”畫像；協方差傳播和線性化軌道方程用于分析誤差的傳播情況，如同追蹤誤差在模型中的傳播路徑；蒙特卡羅仿真用于模擬誤差的影響，就像在虛擬環境中進行多次誤差實驗；經驗公式擬合用于量化觀測時長和預測時間對誤差的影響，如同用數學公式描繪誤差的變化規律。

核心變量：輸入為所有與軌道預測相關的數據，包括觀測數據、軌道預測結果等，這些是我們分析誤差的“原材料”；輸出為誤差與觀測時長和預測時間的關系，這是我們要繪制的“誤差變化地圖”