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1. 數字系統（Number Systems）

1.1 常見數字系統

系統	基數	符號集	示例	應用場景
二進制	2	0, 1	1010	計算機底層電路、數據存儲
八進制	8	0-7	17	Unix文件權限（如chmod 755）
十進制	10	0-9	42	日常計算
十六進制	16	0-9, A-F	0x1F	內存地址、顏色編碼（#RRGGBB）

1.2 進制轉換方法

• 其他進制 → 十進制：加權求和

  1010_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 10_{10}
  

• 十進制 → 其他進制：短除法取余

  42_{10} \rightarrow 42÷2=21余0 → 21÷2=10余1 → ... → 101010_2
  

• 二進制 ? 十六進制：4位分組轉換

  1101\_0110_2 → D6_{16}
  

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2. 數據編碼（Data Encoding）

2.1 數值編碼

編碼類型	表示方法	范圍（8位）	特點
原碼	最高位為符號位（0正1負）	-127 ~ +127	零有+0和-0兩種表示
反碼	負數：符號位不變，其余位取反	-127 ~ +127	過渡方案，現較少使用
補碼	負數：反碼+1	-128 ~ +127	現代計算機標準，消除零歧義
移碼	補碼符號位取反	-128 ~ +127	用于浮點數階碼（如IEEE 754）

示例：

• -5的8位補碼表示：

  原碼：1000 0101 → 反碼：1111 1010 → 補碼：1111 1011
  

2.2 字符編碼

標準	覆蓋范圍	存儲方式	局限性
ASCII	英文、數字、控制字符（128個）	1字節（7位）	無法表示非拉丁字符
Unicode	全球文字（如中文、emoji）	UTF-8（變長1-4字節）	兼容ASCII，互聯網首選
GB2312	簡體中文（6763個漢字）	2字節	僅支持簡體中文

UTF-8編碼規則：

• 1字節：0xxxxxxx（兼容ASCII）
• 2字節：110xxxxx 10xxxxxx
• 3字節：1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
• 4字節：11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

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3. 高級編碼技術

3.1 浮點數編碼（IEEE 754）

\text{值} = (-1)^S × 1.M × 2^{E-127}

• 32位單精度：

  S(1位) | E(8位) | M(23位)
  

• 示例：-0.75的二進制表示：

  符號位S=1，0.75=1.1×2^{-1} → E=126(01111110), M=1000...0
  最終：1 01111110 10000000000000000000000
  

3.2 錯誤檢測編碼

• 奇偶校驗：附加1位使1的個數為奇/偶

  數據：1010 → 偶校驗：1010_0（1的個數為偶數）
  

• CRC循環冗余校驗：多項式模2除法（用于網絡傳輸）
• 漢明碼：可糾正單比特錯誤的糾錯編碼

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4. 實際應用案例

4.1 計算機內存存儲

• 小端序（Little Endian）：低位字節存儲在低地址

  32位整數0x12345678在內存中的存儲（地址遞增方向）：
  78 56 34 12
  

4.2 圖像顏色編碼

• RGB24位色：

  R(8位) | G(8位) | B(8位) → 如純紅色：0xFF0000
  

• ARGB32位色：增加透明度通道（Alpha）

4.3 條形碼與二維碼

• EAN-13條形碼：13位數字（前導位+左右數據+校驗位）
• QR碼：使用Reed-Solomon糾錯編碼，支持漢字（需UTF-8轉換）

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5. 關鍵問題與解決方案

Q1: 為何計算機使用補碼表示負數？

• 解決零的歧義：補碼中+0和-0表示相同（均為000...0）
• 簡化運算電路：加法器無需區分正負數，統一處理（如5 + (-3)可直接相加）

Q2: UTF-8如何實現變長編碼？

• 前綴碼設計：通過起始比特模式標識字節數（如110開頭的必為2字節字符首字節）
• 兼容性：ASCII字符（0-127）保持單字節不變

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總結

數字系統與編碼是計算機科學的基石，理解其原理對以下領域至關重要：

• 硬件設計（如CPU算術單元）
• 數據壓縮（如哈夫曼編碼）
• 網絡安全（如校驗和驗證）
• 跨平臺數據交換（如字符編碼轉換）

掌握進制轉換、補碼運算和Unicode處理能力，是開發者的核心技能之一。