在圖形學中，向量是描述幾何、光照、運動等核心概念的基礎工具。以下是向量在圖形學中的關鍵應用和深入解析：

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1. 向量的核心作用

• 幾何表示：描述點、方向、法線、切線等。
• 空間變換：平移、旋轉、縮放等操作依賴向量運算。
• 光照計算：光線方向、反射向量、點積用于漫反射和鏡面高光。
• 物理模擬：速度、加速度、力的合成與分解。

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2. 圖形學中的向量運算

(1) 點積（Dot Product）的應用

• 光照模型：計算光線與表面法線的夾角（Lambert漫反射）：
  $$I=\max (0,\mathbf{L}?\mathbf{N})?I_{\text{light}}$$
  $L為光線方向$，$N為法線$，$I_{\text{light}}為光強$
• 背面剔除：若視線向量(\mathbf{V})與法線(\mathbf{N})的點積(\mathbf{V} \cdot \mathbf{N} > 0)，則表面不可見。
• 投影計算：將向量投影到另一向量（如陰影生成）。

(2) 叉積（Cross Product）的應用

• 法向量計算：通過三角形兩邊的叉積求法線：
  $$\mathbf{N}=({\mathbf{v}}_1?{\mathbf{v}}_0)\times ({\mathbf{v}}_2?{\mathbf{v}}_0)$$
• 坐標系構建：生成切線空間（TBN矩陣）用于法線貼圖：
  $$\mathbf{T}=\text{切線},\mathbf{B}=\mathbf{N}\times \mathbf{T}$$

(3) 歸一化（Normalization）

• 將向量轉換為單位向量，確保方向計算不受長度影響：
  $$\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$$
  （關鍵用于光線方向、法線等）

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3. 向量在圖形流水線中的角色

(1) 頂點處理

• 模型變換：通過矩陣乘法（如MVP矩陣）將頂點從模型空間轉換到裁剪空間：
  $${\mathbf{v}}_{\text{clip}}=\mathbf{MVP}?{\mathbf{v}}_{\text{model}}$$
• 法線變換：法線需用模型矩陣的逆轉置矩陣變換，以保持垂直性：
  $${\mathbf{N}}_{\text{world}}=({\mathbf{M}}^{?1}{)}^{?}?{\mathbf{N}}_{\text{model}}$$

(2) 光照與著色

• Phong模型：結合環境光、漫反射（點積）、鏡面反射（反射向量計算）：
  $$\mathbf{R}=2(\mathbf{L}?\mathbf{N})\mathbf{N}?\mathbf{L}$$
• 半程向量（Blinn-Phong）：優化鏡面高光計算：
  $$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{L}+\mathbf{V}}{|\mathbf{L}+\mathbf{V}|}$$

(3) 屏幕空間操作

• 視口變換：將NDC坐標映射到屏幕像素坐標：
  $$\{\begin{array}{l}{x}_{\text{screen}}=(x_{\text{ndc}}+1)?\frac{\text{width}}{2}\\ y_{\text{screen}}=(1?y_{\text{ndc}})?\frac{\text{height}}{2}\end{array}$$

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4. 圖形學特有問題與優化

(1) 精度問題

• 浮點誤差：使用高精度浮點（如double）或誤差容忍比較（如glm::epsilonEqual）。
• 歸一化失效：零向量或極小向量的保護性處理：

  if (length(v) < 1e-6) discard;
  

(2) 向量插值

• 重心坐標插值：在三角形內插值頂點屬性（顏色、UV、法線）：
  $$\mathbf{p}=\alpha {\mathbf{v}}_0+\beta {\mathbf{v}}_1+\gamma {\mathbf{v}}_2$$
• 透視校正插值：在投影空間中需除以深度（w分量）保證正確性。

(3) 性能優化

• SIMD指令：使用SSE/AVX加速向量運算（如Unity的Burst編譯器）。
• 預計算向量：如預生成環境貼圖的輻照度向量。

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5. 實際代碼示例（GLSL/HLSL）

(1) 法線貼圖解碼

vec3 normal = texture(normalMap, uv).xyz * 2.0 - 1.0; // 從[0,1]映射到[-1,1]
normal = normalize(TBN * normal); // TBN為切線空間矩陣

(2) 反射光線計算

vec3 reflectDir = reflect(-lightDir, normal);
float specular = pow(max(dot(viewDir, reflectDir), 0.0), 32.0);

(3) 屏幕空間UV計算

vec2 screenUV = gl_FragCoord.xy / resolution;

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6. 擴展：向量在高級圖形技術中的應用

• 光線追蹤：光線方向向量與場景求交（如rayDir = normalize(target - origin)）。
• SDF（符號距離場）：利用向量計算點到表面的最短距離。
• 流體模擬：速度場（向量場）的平流與擴散。

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