一文總結通信電路中LC諧振回路中各公式以及對深入解讀品質因數Q

前言

一、基本公式總結

1.并聯諧振回路

2.串聯諧振回路

二、淺談品質因數

1.衡量諧振回路能量存儲與能量損耗之比的無量綱參數，用于描述諧振電路的頻率選擇性

2.當受到振蕩驅動力時，諧振腔的中心頻率與其帶寬的比值

3.為什么諧振時電容上的電壓等于信號源電壓乘以品質因數Q

總結

前言

????????本文主要解決的問題是有關RLC諧振回路中有關品質因數Q的各個公式的由來，文中包含了對三個公式的總結以及推導，并且對串并聯電路都做了一定的總結和梳理

一、基本公式總結

1.并聯諧振回路

當（ $\omega L \gg r$ ）時， $Y_L \approx \frac{r}{(\omega L)^2} - j(\omega C - \frac{1}{\omega L})$

當電路諧振時（? $\omega C = \frac{1}{\omega L}$ ?）， $Y_L = \frac{r}{(\omega L)^2}$ ?為純電導， $R_0 = \frac{(\omega L)^2}{r}$

并聯諧振回路品質因數? $Q =\frac{\omega_0 L}{r}=\frac{1}{r\omega_0C}= \frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R\omega_0C}$

2.串聯諧振回路

$Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}\right)$

二、淺談品質因數

1.衡量諧振回路能量存儲與能量損耗之比的無量綱參數，用于描述諧振電路的頻率選擇性

并聯諧振回路中： $Q = \frac{W_L+W_C}{W_R} = R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{R}{\omega_0 L}=R\omega_0C$

其中 $R$ ?是并聯電阻，可由? $r$ ?等效而來： $R_0 = \frac{(\omega L)^2}{r}$

所以還可以表示為： $Q =\frac{\omega_0 L}{r}=\frac{1}{r\omega_0C}$

串聯聯諧振回路中： $Q = \frac{W_L+W_C}{W_R} = \frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R\omega_0C}$

? ? ? ? 由此可以看出串聯和并聯諧振的 Q 公式形式相同（? $Q =\frac{\omega_0 L}{R_x}$ ?），但物理意義不同。但可以理解為? $R_x$ ?是與電感串聯的電路。而在并聯回路中，由于一般電阻都已并聯的形式展現，所以會將與電感串聯的? $r$ ?等效到并聯呈現。

2.當受到振蕩驅動力時，諧振腔的中心頻率與其帶寬的比值

$Q =\frac{f_0}{BW}$

????????具體推導如下：

LC并聯諧振的阻抗為： $Z(\omega)= \frac{R}{1 + j (\frac{\omega C-\frac{1}{\omega L}}{G} )} =\frac{R}{1 + j Q (\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})}$

當失諧量 $\Delta \omega = \omega-\omega_0$ ?非常小時： $Z(\omega)= \frac{R}{1 + j Q (\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})} \approx \frac{R}{1 + j Q \frac{2\Delta \omega}{\omega_0}}$

所以在諧振頻率附近（ $\omega\approx\omega_0$ ?），阻抗表達式可線性化為： $|Z(\omega)| \approx \frac{R}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

阻抗的相位可以表示為： $\phi_z = -\arctan\left(R\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right)=\frac{\omega C-\frac{1}{\omega L}}{G}$

????????通過阻抗的表達式我們可以得到幅頻特性方程：

$U =I_s \cdot Z_p = \frac{I_s \cdot R}{\sqrt{1 + Q^2\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}}\approx \frac{U_0}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

$\alpha=\frac{U}{U_0} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}}\approx \frac{1}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta \omega}{\omega_0}\right)^2}}$

????????知道幅頻特性方程后就能試著去表示通頻帶：

當 $\alpha=\frac{U}{U_0} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(2Q \frac{\Delta f}{f_0}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 時： $Q \frac{\Delta f}{f_0}=\pm 1$ ?

可以解得： $Q \frac{2(f_2-f_1)}{f_0}=2$

$BW=f_2-f_1= \frac{f_0}{Q}$

3.為什么諧振時電容上的電壓等于信號源電壓乘以品質因數Q

串聯RLC諧振電路的阻抗為： $Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

????????諧振時（? $\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$ ?）：

感抗和容抗抵消： $\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$ ???????
阻抗最小且為純電阻： $\quad Z = R$
電流達到最大值： $\quad I_{\text{max}} = \frac{V_{\text{in}}}{R}$

電容電壓 $V_C$ ?為電流? $I$ 乘以容抗? $\frac{1}{\omega C}$ ?： $V_C = I \cdot \frac{1}{\omega C}$

諧振時： $V_C =I_{\text{max}}\cdot \frac{1}{\omega_0 C}= \frac{V_{\text{in}}}{R} \cdot \frac{1}{\omega_0 C} = V_{\text{in} }\cdot Q$

總結

????????對通信電路第一章的基本概念做了梳理與總結，在博客里準備公式和圖真的是一件花費時間的事情，本來還想把前幾張的內容都梳理一遍，但是今天寫博客的時候感覺還是太花時間了。這篇博客主要還是針對我在做第一章的題目時碰到的一些關于品質因數公式的問題，梳理一遍后對關于Q的每一個公式的由來都清楚了很多，希望對大家也有幫助。

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