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前言

$k$均值（$k$-means）聚類算法是一種經典的無監督聚類算法，本文將深入解析其理論原理，并在真是數據集上進行算法實踐，話不多說，請看下文。

算法原理

給定樣本集 D = { x 1 , x 2 , … , x m } D=\left\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m\right\} D={x1?,x2?,…,xm?}，其中每個樣本${\mathbf{x}}_i$都由一個向量表示，例如以周志華老師西瓜書中的西瓜數據集為例，每個樣本都包含兩個屬性密度和含糖量，這兩個屬性值組成的向量便是該樣本的向量表示。

$k$均值算法旨在將樣本集$D$劃分為$k$個簇，即 C = { C 1 , C 2 , … , C k } C=\left\{C_1,C_2,\ldots,C_k\right\} C={C1?,C2?,…,Ck?}，使得每個樣本都被劃分到與其距離最小的簇中。用數學來刻畫就是，$k$均值算法希望能夠最小化所劃分的$k$個簇的平方誤差，即：
$${\text{argmin}}_C\sum _{i=1}^k\sum _{\mathbf{x}\in C_i}{\Vert \mathbf{x}?{\mu }_i\Vert }_2^2$$

其中 ${\mathbf{\mu }}_i=\frac{1}{|C_i|}{\sum }_{\mathbf{x}\in C_{\mathbf{i}}}\mathbf{x}$ 表示簇 $C_i$ 的均值向量，$\mathbf{x}$表示簇$C_i$中的樣本。

$k$均值算法事先設定數據集$D$要劃分為$k$個簇，初始化時，會先從數據集$D$中隨機挑選$k$個樣本作為各個簇的初始均值向量（簇中心）。然后遍歷所有樣本，分別計算各個樣本與各個簇中心的距離，并將樣本劃分到與距離最小的簇中。待到所有樣本都劃分完畢后，將各個簇樣本向量的均值向量作為新的簇均值向量，重復上述的步驟，直到上一輪所有的簇中心均值向量與本輪計算的結果相同為止。該算法的具體算法流程如下：

需要注意的是，實際計算過程中為避免計算時間過長，該算法的終止條件不可能這樣嚴苛。西瓜書中給出了兩種方案：

• 設置一個最大輪數。
• 設置均值向量的變化閾值，若新簇中心與舊簇中心之間的距離不超過該閾值即可，而不是嚴格不變。

對于$k$均值聚類算法而言，數據集的預處理和$k$值的選取同樣十分重要，可以參考博客【機器學習】K-means（非常詳細），限于篇幅原因，本文就不詳細展開。

算法實踐

本文在鳶尾花數據集上進行$k$均值聚簇算法的實踐。

基于最大輪數終止的$k$均值聚類算法實現如下所示，兩個向量之間的距離計算本文采用了余弦距離。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdistclass KMeansModel:def rand_pick(self, x, k):"""隨機選取k個簇中心"""n = x.shape[0]indices = np.random.choice(n, k, replace=False)return x[indices]def calculate_distance(self, x, centers):"""計算簇中心與數據樣本之間的余弦距離centers: 簇中心數據 (k, d)x: 樣本 (N, d)"""return cdist(x, centers, metric="cosine")def get_centers(self, k, x, y):"""根據計算結果重新計算簇中心y: 根據距離將數據集劃分的標簽數組 (N)"""centers = np.zeros((k, x.shape[1]))for label in range(k):centers[label] = np.mean(x[y == label], axis=0)return centersdef get_label(self, dis):"""根據距離矩陣將每個樣本劃分到距離最小的簇中心"""return np.argmin(dis, axis=-1)def cluster(self, x, k, times):"""進行KMeans聚類x: 數據樣本 (N, d)k: 類別數tims: 迭代次數"""# 隨機選取k個作為初始簇中心centers = self.rand_pick(x, k)for _ in range(times):# 計算各個樣本到簇中心的距離dis = self.calculate_distance(x, centers)# 根據距離矩陣將樣本進行劃分y = self.get_label(dis)# 重新計算新的簇中心centers = self.get_centers(k, x, y)return y

在鳶尾花數據集上，設置的實驗參數為$k=3$，$times=500$，即將整個數據集聚為$3$個簇，算法迭代$500$輪終止。

算法額外對比了基于sklearn庫實現的$k$均值聚簇算法的效果，為更直觀的展示，本文對數據集進行PCA降維，下圖從左到右分別是真實標簽、本文模型的聚類結果、基于sklearn算法的聚類結果。從結果可以看出，本文實現的模型在鳶尾花數據集上效果還是不錯的。

結語

以上便是本文的全部內容，如果感覺不錯可以支持一下，若有任何問題敬請批評指正。