映射

映射：
$\sigma :M\to M^{\prime }$
$\sigma (a)=a^{\prime },a\in M,a^{\prime }\in M^{\prime }$
$a^{\prime }$是$a$在$\sigma$下的像，$a$是$a^{\prime }$在$\sigma$下的原像

$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M\to M^{\prime }$，若$\sigma =\tau$，則$?a\in M,\sigma (a)=\tau (a)$

恒等映射（單位映射）：$\sigma (a)=a,a\in M$，將$\sigma$記作$1_M$

乘積：$\tau \sigma (a)=\tau (\sigma (a))$
結合律：$(\psi \tau )\sigma =\psi (\tau \sigma )$
其中，$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M^{\prime }\to M^{\prime \prime },\psi :M^{\prime \prime }\to M^{\prime \prime \prime }$

$\sigma :M\to M^{\prime }$，則$\sigma (M)?M^{\prime }$
若$\sigma (M)=M^{\prime }$，則$\sigma$稱為滿射或映上的
若$\sigma (a_1)\ne \sigma (a_2),a_1,a_2\in M,a_1\ne a_2$，則$\sigma$稱為單射或$1?1$的
$\sigma$既滿射又單射，則$\sigma$稱為雙射或$1?1$對應

若$\sigma$雙射，則${\sigma }^{?1}$雙射，$\sigma {\sigma }^{?1}$或${\sigma }^{?1}\sigma$為恒等映射。
若$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M^{\prime }\to M^{\prime \prime }$雙射，則$\tau \sigma$雙射。

線性空間（向量空間）

線性空間$V$滿足數乘與加法封閉，且滿足8條運算定律，具體看我之前的筆記。
應用泛函分析—線性空間. https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/125354138

線性空間的元素稱為向量，但并非狹義的向量，線性空間舉例：
$\mathbb{R}$上的全體向量
數域$F$上的全體$n$元數，$F^n$
$F[x]$
數域$F$上的全體次數小于$n$的多項式，再加上0，$F[x{]}_n$
數域$F$上的全體$m\times n$維矩陣，$P^{m\times n}$
全體實函數

線性空間的維數：$V$中線性無關的向量最大個數為$n$，則$V$為$n$維的。

$n$維線性空間$V$中的任意一組$n$個線性無關向量稱為$V$一組基。

$1,x,x^2,...,x^{n?1}$是$F[x{]}_n$的一組基。在這組基下，$f(x)=a_0+a_{1}x+...+a_{n?1}{x}^{n?1}$的坐標為$(a_0,a_1,...,a_{n?1})$。
多項式又可通過泰勒展開表示：
$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)+...+\frac{f^{(n?1)}(a)}{(n?1)!}(x?a{)}^{n?1}$
因此$F[x{]}_n$的另一組基是：$1,x?a,...,(x?a{)}^{n?1}$，$f(x)$在該組基下的坐標為$(f(a),f^{\prime }(a),...,\frac{f^{(n?1)}(a)}{(n?1)!})$。

維數與數域有關，舉例：
復數域$\mathbb{C}$可以看作$\mathbb{C}$上的線性空間，該線性空間是一維的，其中一組基是$1$。
$\mathbb{C}$也可以看作$\mathbb{R}$上的線性空間，該線性空間是二維的，其中一組基是$1,i$。

$n$維線性空間$V$的兩組基$?=({?}_1,...,{?}_n),{?}^{\prime }=({?}_1^{\prime },...,{?}_n^{\prime })$存在關系（基變換）：$?={?}^{\prime }A$，$A$稱為過渡矩陣是可逆的。
$V$中的一個元素為$\alpha$，$\alpha$可以由兩個基線性表出，則$\alpha =?a^T={?}^{\prime }{b}^T$，$a=(a_1,...,a_n),b=(b_1,...,b_n)$。
聯立上面的兩個式子得到：
$\alpha ={?}^{\prime }A{a}^T={?}^{\prime }{b}^T$
進一步化簡：
$A{a}^T=b^T$，這個式子稱為坐標變換。

線性子空間

數域$F$上的線性空間$V$的非空子集為$W$，如果$W$對于$V$中定義的數乘與加法運算封閉且滿足8條運算定律，則$W$稱為$V$的（線性）子空間。
其中6條運算定律必然滿足，而另外兩條（加法單位元、加法逆元）只是數乘封閉的特例，因此$W$成為線性子空間只需滿足：數乘封閉，加法封閉。

非平凡子空間：除去零子空間與線性空間自身之外的子空間。

舉例：
$F[x{]}_n$是$F[x]$的子空間。
$s$個方程，$n$個未知數的齊次線性方程組的全部解是$F^n$的子空間（也稱解空間），維數為$n?r$，$r$為系數矩陣的秩。

生成子空間：線性空間中任意一組向量${?}_1,...,{?}_n$的所有線性組合所組成的集合，記為$L({?}_1,...,{?}_n)$。
子空間$W$的一組基為${?}_1,...,{?}_n$，則有$W=L({?}_1,...,{?}_n)$

定理：${?}_1,...,{?}_m$是子空間$W$的一組基，則必然可以在線性空間$V$中找到$n?m$個向量${?}_{m+1},...,{?}_n$，使得${?}_1,...,{?}_n$是$V$的一組基。

定理：線性空間$V$的子空間$W_1,W_2$的交$\cap$與和$+$運算的結果也是$V$的子空間。
子空間的和： W 1 + W 2 = { ? 1 + ? 2 ∣ ? ? 1 ∈ W 1 , ? ? 2 ∈ W 2 } W_1+W_2=\set{\epsilon_1+\epsilon_2| \forall \epsilon_1\in W_1, \forall \epsilon_2\in W_2} W1?+W2?={?1?+?2?∣??1?∈W1?,??2?∈W2?}

舉例：
1、三維幾何空間$V$中，$W_1$是一條通過原點的直線，$W_2$是一個過原點且與$W_1$垂直的平面，則 W 1 ∩ W 2 = { 0 } , W 1 + W 2 = V W_1\cap W_2=\set{0}, W_1+W_2=V W1?∩W2?={0},W1?+W2?=V。集合 { 0 } \set{0} {0}表示原點。
2、$s$個方程$n$個未知數的齊次線性方程組的全部解是$F^n$的子空間，$t$個方程$n$個未知數的齊次線性方程組的全部解也是$F^n$的子空間，兩個子空間的交是這$s+t$個齊次線性方程組的解空間。

定理：$dim(W_1)+dim(W_2)=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)$，其中，$W_1,W_2$為線性空間$V$的子空間。
舉例：
三維幾何空間$V$中，$W_1,W_2$是兩個過原點的平面，則$dim(W_1)+dim(W_2)=4,dim(W_1+W_2)=3,dim(W_1\cap W_2)=1$。

子空間直和：線性空間$V$的兩個子空間為$W_1,W_2$，如果$W_1+W_2$中的每個向量的分解式是唯一的，則子空間和就稱為直和，記作$W_1\oplus W_2$

$W_1+W_2=W_1\oplus W_2$的充要條件： W 1 ∩ W 2 = { 0 } W_1 \cap W_2 = \set{0} W1?∩W2?={0}

定理：線性空間$V$一定有兩個子空間$W_1,W_2$，使得$V=W_1\oplus W_2$

同構映射的定義
數域$F$上的兩個線性空間$V,V^{\prime }$，雙射$\sigma :V\to V^{\prime }$，如果：
$\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b)$，
$\sigma (ka)=k\sigma (a)$,
$a,b\in V,k\in F$
則$\sigma$稱為同構映射，$V,V^{\prime }$稱為同構的。

同構映射舉例：向量與其坐標的對應，$\sigma :V\to F^n$。

數域$F$上任一個$n$維線性空間都與$F^n$同構。
同構的線性空間有相同的維數。
同構映射的逆，兩個同構映射映射的乘積都是同構映射。

定理：數域$F$上兩個有限維線性空間同構的充要條件是它們有相同的維數。