極值理論介紹

在風險管理中，將事件分為高頻高損、高頻低損、低頻高損、低頻低損。其中低頻高損是一種非常棘手的損失事件，常出現在市場大跌、金融體系崩潰、金融危機以及自然災害等事件中。

由于很難給極端事件一個準確的定義，所以可觀測的歷史數據非常少。這種問題不僅僅出現在風險管理領域，在其他行業也很普遍。

極值理論(Extreme-value theory )是統計學的一種專門用于研究隨機變量分布的極端尾部行為。與一般的中心趨勢型統計方法不同，中心趨勢性統計方法核心是中心極限定理，但是極端值無法應用中心極限定理（中心極限定理假設樣本數量足夠大時服從正態分布）。

GEV

假設一個隨機損失變量X是獨立同分布的（iid）。從F（x）中抽取的一個樣本大小為n，且該樣本的最大值為M（如果n很大，我們可以把M看作一個極值）。根據Fisher-Tippett定理，當n變大時，極值（即Mn）的分布收斂到下面的廣義極值（GEV）分布

其中
$\mu$：極端值的平均數

$\sigma$：極端值的標準差

$?$：形狀參數，描述極值分布的尾部形狀

當$?>0$，服從Frechet分布，呈現出肥尾的特點。比如t分布，帕累托分布。
當$?=0$，服從Gumbel分布，呈現出指數型尾部，尾部相對瘦（light）。比如正態分布，對數正態分布。
當$?<0$，服從Weibull分布，呈現出比正態分布尾部更瘦的形態。該分布尤其不適用在金融實證中，由于金融數據一般呈現肥尾的特點。

POT

GEV在實際應用中可能會漏掉極值點，POT在此基礎上進行改良，先設定一個閾值(threshold)，超過閾值的損失分布服從POT分布，這種方法比GEV方法需要更少的參數。

$\beta$：規模參數

$?$：形狀參數，描述極值分布的尾部形狀

由此可推導VaR和ES的計算方法：
$$VaR=\mu +\frac{\beta }{?}\{[\frac{n}{N_u}(1?\alpha {)}^{??}]?1\}$$
$$ES=\frac{VaR}{1??}+\frac{\beta ??\mu }{1??}$$

代碼實現

from prettytable import PrettyTable
import numpy as np
import akshare as ak
from scipy.stats import genextreme as gev
from scipy.stats import genpareto as pot# 利用akshare讀取股票收益序列
stock = ak.stock_zh_a_hist(symbol='000001', period="daily", start_date="20071012", end_date='20081012', adjust="")
price = stock['收盤']# GEV
c, loc, scale = gev.fit(price[price < np.percentile(price, 5)])
confidence_level = 0.95
VaR_gev = gev.ppf(confidence_level, c, loc, scale)# POT
threshold = 17
choose = price[price < threshold]
c, beta, epsilon = pot.fit(choose)
n = float(len(price))
nu = float(len(choose))
VaR_POT = choose.mean() + beta/epsilon * ((n / nu * (confidence_level ** (-float(epsilon)))) - 1)# print
VaR = PrettyTable(['Tool', 'VaR'])
VaR.add_row(['GEV', round(VaR_gev, 4)])
VaR.add_row(['POT', round(VaR_POT, 4)])
print(VaR.get_string(title="GEV VaR"))

輸出結果：