第三章 計算機控制系統的數學描述(修正Z變換)

* §3.4 修改Z變換 1．具有多采樣頻率系統 在某些控制系統中，存在著不同采樣頻率的采樣開關，如圖3.10所示。 圖3.10 具有不同采樣頻率系統結構圖 圖3.10表示，該系統反饋回路的采樣頻率高一倍，這是為了要了解采樣周期T之間的反饋信號，如圖3.11所示。 ? 圖3.11 具有采樣周期為 的輸出響應系統 具有 采樣周期的采樣信號可表示為 (3.37) (3.37)式表示在采樣周期 與 之間包含有 個附加脈沖信號。 對(3.37)式兩邊進行采樣信號的拉氏變換，得 (3.38) 分析圖3.10所示，具有不同采樣頻率系統的方法，可以采用最低一個采樣頻率(即采用周期為T)的采樣開關的N個并行環節連接，并經過超前/滯后處理，對圖3.10所示系統可變為如圖3.12所示。 ? ? 圖3.12 與圖3.10等效系統結構圖 因為一個系統內不能有多種采樣周期，否則無法求得系統的Z傳遞函數，移位定理也不能使用。 經過圖3.12的處理，就可求得采樣周期為 的傳遞函數，而系統中的采樣周期都是為 T 。 其原理可用圖3.12A來說明。為了說明清楚起見，設要求采樣的波形為三角波，要實現 周期采樣時，應將圖3.12A(a)中峰值與谷值同時采樣出來。 (a) (b) 圖3.12 A 這樣就可以應用通常Z變換的分析方法，從圖3.12可寫出Z傳遞函數表示式為 (3.39) (3.40) (3.41) 在(3.41)式中，右邊第2項，因為延時為非整數，故不能應用移位定理處理，需要采用修改Z變換方法。 其中 2. 修改Z變換 從理論上講，修改Z變換有兩種形式，即超前和滯后兩種。 (1)超前形式。 超前形式修改Z變換示意圖，如圖3.13所示。其中，圖(a)為 的時間函數，圖(b)為超前 T ( )的 的時間函數 b a 圖3.13 超前形式修改Z變換圖形 它的Z變換式為 (2)滯后形式 滯后形式修改Z變換示意圖，如圖3.14所示。類似 (3.42)式，滯后形式的Z變換式可寫成 (3.43) 圖3.14 滯后形式修改Z變換圖形 (3.43)式在理論上似乎是正確的，但在分析中存在一定的問題，這可以下例進行說明。 例3.11 設滯后時間為 ，求 的修改Z變換式，根據(3.43)式，得 (3.44) 上式右邊第1項是不應該存在的，因為函數 在 時是不存在的，怎么能產生Z變換式呢？ 為了解決滯后修改Z變換在分析中存在的困難，引入 (3.45) 因為 ，故 也是 ，將(3.45)式代入(3.43)中，得 (3.46)式定義為修改Z變換，記作 對例3.8重新進行計算，可得 (3.47) 利用(3.46)修改Z變換式，可對圖3.12所示的系統寫出閉環Z傳遞函數式。重寫(3.39)式，即 (3.48) 其中 上式右邊第2項可利用(3.46)式進行計算，即 查表法 將上述各式代入(3.48)式中，得 (3.49) 3. 具有N倍采樣頻率和不同采樣頻率的系統表達方法 (1)具有N倍采樣頻率系統的表達方法 設具有N倍采樣頻率系統，如圖3.15所示，其中圖3.15(a)為原理圖，圖3.15(b)為圖3.15(a)的等效結構圖。 ? ? (a) (b) 圖3.15 具有N倍采樣頻率系統結構圖 ? (2)具有不同采樣頻率系統的表達方法 設具有不同采樣頻率的系統，如圖3.16所示。 ? (c) 圖3.16 不同采樣頻率系統結構圖 多個