今天物理考試，老師提到了一個有趣的積分問題。聽說是拉普拉斯變換的一個應用之一（生成函數？），但是我沒聽過那個東西所以硬上了：D

1）試求積分

2) 試說明積分

的收斂性

1）對于第一問可以考慮構造函數

那么

可以考慮求

,得到

現在我們可以得到

了，對上式積分得到

現在來確定常數項

. 由于

(2)第二問可以考慮利用第一問得到的結果：

定義

需要注意的是，因為被積函數

在

趨向于0時不收斂，而

,所以