消息來源：http://www.math.pku.edu.cn:8000/news/read.php?newsid=8014
A題：投籃問題
投籃是籃球運動中一項關鍵性技術，是一項重要的得分手段。在籃球賽中有三種特殊的投籃方式，“三分球”、“兩分球”和“一分球(罰籃)”。其中，“三分球”是指在三分線以外投籃且命中的進球。由于距離遠，受到空氣阻力影響，通常采用跳投技術，要求起跳時腳要在三分線以外，不可踩三分線，落地時可以在三分線以內，也可在三分線以外。 “兩分球”是在三分線以內投籃且命中的進球。罰籃是在籃球比賽中對犯規球員的處罰。罰籃是在罰球圈進行投籃，距離較近，一般為了保證命中率會采用原地定點投籃，不采用跳投技術。
一、 請通過數學建模分析這三種投籃方式的特點和各自提高命中率的關鍵因素，為投籃訓練和籃球競賽策略提供科學的建議。
特別注意到，2012年中國籃球協會修訂的籃球規則的新改變：
1、限制區(3秒區)改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制區內以籃圈在地面的投影點為圓心以1.25米為半徑畫一個半圓(見附圖)，設為進攻合理沖撞區，進入該區域內(沖撞區的線屬于該區域)發生的身體接觸如果造成犯規，則判為防守的犯規。
2、三分線區域擴大，由原來的6.25米半徑擴大為6.75米。
二、 試運用你們所建立的模型分析這項新的規定能否增加籃球競賽的觀賞程度以及體現球員的個人表現力。
附錄1、名詞解釋
限制區(三秒區)：限制區是一個為了限制進攻方球員在有利進攻位置滯留時間過長而從球場地面劃出的區域。在這個區域內，當進攻方開始控球時刻計算，任何一名進攻方球員滯留的時間不應該超過3秒，否則將會被認定對于防守方不公正的進攻行為而吹罰，具體的罰則為攻防轉換，滯留3秒區內超過時間的進攻方球員計失誤，不計犯規。
合理沖撞區：籃下以籃筐的中心為圓心，以4英尺(1.2米)為半徑的半圓，此區域被稱作合理沖撞區。站在圓弧線以內，只要防守隊員與進攻隊員有身體接觸，都可能會判防守犯規。而在線外，防守隊員則可以提前站好位，如果進攻隊員用身體接觸了防守隊員，會判進攻隊員撞人。在合理沖撞區內，在對方進攻時，防守球員如果跳起來才不會被吹罰犯規。
附錄2、籃球場地示意圖
規則改變前的籃球場地示意圖
規則改變后的籃球場地示意圖
現行的實際籃球場地示意圖
B題：卵巢癌早期診斷模型建模和分析方法研究
卵巢癌(Ovarian cancer) 在我國女性生殖系統惡性腫瘤中發病率居于第二位，但死亡率居于首位。這主要是由于超過70%的卵巢癌患者，其確診時腫瘤往往處于晚期，從而導致患者的5年存活率就有20%，而早期卵巢癌的治愈率卻可以達到90%。因而對于卵巢癌的早期篩查以及診斷是十分必要的，這是降低致死率的有效手段。
然而，卵巢癌在人群中的患病率很低(3–5/10000)且其在早期階段通常不具有明顯的臨床癥狀表現，故而一個有效的早期篩查策略，不僅需要依賴于疾病的臨床癥狀表現，同時也需要借助于生物學標記，來在保證一定特異度的前提下達到更高的敏感度。
CA125是臨床應用最為廣泛的一種腫瘤標記物，對于晚期卵巢癌的診斷具有重要的輔助作用，近來也被用于早期患者的診斷；但是直接利用其進行早期卵巢癌篩查的敏感度及特異度均不佳。1990年Jacobs等首先提出用惡性風險指數(RMI)預測卵巢癌。這種基于病例對照研究數據及Logistic回歸構建的簡單評分系統，能夠在一定程度上提高CA125的敏感度。2001年Skates等提出了一種基于CA125的縱向檢測數據的篩查策略。即建立了一個帶有變點的貝葉斯分層混合效應模型，并給出了基于癌癥風險計算的早期篩查策略。這類縱向篩查策略較之于最簡單的基于腫瘤標記物陽性閾值的篩查方法、以及基于RMI的篩查方法，在敏感度方面有了較大的提高。
HE4是近來提出的一種新的腫瘤標記物。有研究表明，大約20%以上的未出現CA125升高的卵巢癌患者，會出現HE4表達。故有必要考慮HE4、CA125以及其他腫瘤標記物的不同組合對于卵巢癌早期篩查及診斷的作用。2008年Moore等的研究認為HE4和CA125的聯合檢測其敏感度與特異度最高，并在之后2009年的研究中利用病例對照數據建立了用HE4和CA125聯合檢測預測盆腔包塊患者卵巢癌風險的模型(ROMA)，獲得了相對理想的效果。
北京大學人民醫院將開始卵巢癌早期篩查研究。依照研究流程，待研究結束后，將獲得16000例篩查對象的血清CA125及HE4的縱向檢測數據。該研究的目標，則為依據這16000例樣本，建立一個基于血清CA125及HE4兩個指標的可供今后使用的卵巢癌早期篩查數學模型，并基于該數學模型給出一個合理的卵巢癌早期篩查策略。韓宵等(2012)，鄒晨晨等(2012)利用Skates(2001)中提出的建立帶有變點的貝葉斯分層混合效應模型的思想，將之應用于血清CA125及HE4雙指標的聯合檢測。
注1：病例對照研究。以現在確診的患有某特定疾病的病人作為病例，以不患有該病但具有可比性的個體作為對照，通過詢問、實驗室檢查或復查病史，搜集既往各種可能的危險因素的暴露史，測量并比較病例組與對照組中各因素。通過建立模型和統計分析建立診斷模型和分析危險因素。
注2：縱向檢測數據。針對某個特定群體，持續篩查一段時間，每隔一段時間，比如6個月，測量一次危險因素值，比如CA125及HE4，到篩查結束后，會發現一些患病者，另外被觀察者都不會患病。假定總共有$$m$$名受試者，對于受試者$$i=1,2,\ldots,m$$，從進入觀測開始到退出觀測結束共進行了$$n_i$$次檢測，檢測時間點分別為$$t_{i1},t_{i2},\ldots,t_{in}$$(此時間為絕對時間，即對所有受試者有統一的起點和尺度)，每次檢測的CA125和HE4值記為行向量$$y_i(t_{ij})=(c_i(t_{ij}),h_i(t_{ij}))$$。該受試者卵巢腫瘤的產生時刻記為$$s_i$$，一般情況下這個時刻是不知道的。如果在測試結束前產生腫瘤，則$$s_i\leq t_{in_i}$$，如果在測試結束時仍未產生腫瘤，則$$s_i>t_{in_i}$$，如果受試者終生未患腫瘤，則$$s_i=\infty$$.
問題：病例對照研究中病人數可以比較多，縱向檢測數據中病人一般較少。以往的文獻都是單獨通過病例對照研究數據或縱向檢測數據分別建立模型并分析問題。本問題需要參加競賽者給出卵巢癌早期診斷方法，要求同時利用病例對照研究數據和縱向檢測數據，以克服縱向檢測數據中病人數較少，病例對照研究中沒有歷史信息的不足，使得診斷更加準確。對于所給出診斷方法，要求模擬給出敏感度和特異度。
參考文獻
I JACOBS AND D ORAM AND J FAIRBANKS. (1990). A risk of malignancy index incorporating CA125, ultrasound and menopausal status for the accurate preoperative diagnosis of ovarian cancer Journal of Obstetrics and Gynaecology 97 922–929.
SJ SKATES AND DK PAULER AND J JACOBS. (2001). Screening based on the risk of cancer calculation from bayesian hierarchical changepoint and mixture models of longitudinal markers. Journal of the American Statistical Association 96(454) , 429–439.
RG MOORE AND AK BROWN AND CM MILLER AND S SKATES AND JW ALLARD AND T VERCH AND M STEINHOFF AND G MESSERLIAN AND P DISILVESTRO AND CO GRANAI AND RC BAST JR. (2008). The use of multiple novel tumor biomarkers for the detection of ovarian carcinoma in patients with a pelvic mass. Gynecologic Oncology 108, 402–408.
RG MOORE AND SD MCMEEKIN AND AK BROWN AND P DISILVESTRO AND CM MILLER AND JW ALLARD AND W GAJEWSKI AND R KURMAN AND RC BAST JR AND SJ SKATES.(2009). A novel multiple marker bioassay utilizing HE4 and CA125 for the prediction of ovarian cancer in patients with a pelvic mass. Gynecologic Oncology 112, 40–46.
韓霄,鄒晨晨,房祥忠(2012), 卵巢癌早期篩查方案研究, 科技論文在線，2012.10.4.
鄒晨晨,房祥忠,翟廣賀(2012)，基于混合變點模型的卵巢癌診斷篩查，科技論文在線，2012.10.4.
