出棧順序 與 卡特蘭數(Catalan)的關系

一，問題描述

給定一個以字符串形式表示的入棧序列，請求出一共有多少種可能的出棧順序？如何輸出所有可能的出棧序列？

比如入棧序列為：1 2 3? ，則出棧序列一共有五種，分別如下：1 2 3、1 3 2、2 1 3、2 3 1、3 2 1

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二，問題分析

先介紹幾個規律：

①對于出棧序列中的每一個數字，在它后面的、比它小的所有數字，一定是按遞減順序排列的。

比如入棧順序為：1 2 3 4。

出棧順序：4 3 2 1是合法的，對于數字 4 而言，比它小的后面的數字是：3 2 1，且這個順序是遞減順序。同樣地，對于數字 3 而言，比它小的后面的數字是： 2 1，且這個順序是遞減的。....

出棧順序：1 2 3 4 也是合法的，對于數字 1 而言，它后面沒有比它更小的數字。同樣地，對于數字 2 而言，它后面也沒有比它更小的數字。

出棧順序：3 2 4 1 也是合法的，對于數字 3 而言，它后面比 3 小的數字有： 2 1，這個順序是遞減的；對于數字 2 而言，它后面的比它 小的數字只有 1，也算符合遞減順序；對于數字 4 而言，它后面的比它小的數字也只有1，因此也符合遞減順序。

出棧順序：3 1 4 2 是不合法的，因為對于數字 3 而言，在3后面的比3小的數字有：1 2，這個順序是一個遞增的順序(1-->2)。

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因此，當給定一個序列時，通過這個規律 可以輕松地判斷 哪些序列是合法的，哪些序列是非法的。

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②給定一個入棧順序：1? 2? 3 .... n，一共有多少種合法的出棧順序？參考：百度百科卡特蘭數

答案是 卡特蘭數。即一共有：h(n)=c(2n,n)/(n+1) 種合法的出棧順序。

如果僅僅只需要求出一共有多少種合法的出棧順序，其實就是求出組合 C(2n,n)就可以了。而求解C(2n,n)，則可以用動態規劃來求解，具體可參考： 排列與組合的一些定理

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三，代碼實現

給定一個入棧順序，比如 1 2 3 ，如何輸出所有可能的出棧順序？

思路①：先求出入棧順序的所有排列（即全排列），并將排列保存到一個LinkedList<String>中，然后依次遍歷每一個序列，判斷該序列是否是合法的序列。

所謂合法的序列，就是滿足上面的規律1：對于出棧序列中的每一個數字，在它后面的、比它小的所有數字，一定是按遞減順序排列的。 關于如何求解一個序列的全排列，可參考：JAVA求解全排列?

完整代碼實現如下：（實現得不好，感覺比較復雜）

import java.util.Collections;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;public class AllStackPopOrder {public static LinkedList<String> allPermutation(String str){if(str == null || str.length() == 0)return null;//保存所有的全排列LinkedList<String> listStr = new LinkedList<String>();allPermutation(str.toCharArray(), listStr, 0);//print(listStr);//打印全排列return listStr;}private static void allPermutation(char[] c, LinkedList<String> listStr, int start){if(start == c.length-1)listStr.add(String.valueOf(c));else{for(int i = start; i <= c.length-1; i++){//只有當沒有重疊的字符 才交換if(!isSwap(c, start, i)){swap(c, i, start);//相當于: 固定第 i 個字符allPermutation(c, listStr, start+1);//求出這種情形下的所有排列swap(c, start, i);//復位
                }}}}private static void swap(char[] c, int i, int j){char tmp;tmp = c[i];c[i] = c[j];c[j] = tmp;}private static void print(LinkedList<String> listStr){Collections.sort(listStr);//使字符串按照'字典順序'輸出for (String str : listStr) {System.out.println(str);}System.out.println("size:" + listStr.size());}//[start,end) 中是否有與 c[end] 相同的字符private static boolean isSwap(char[] c, int start, int end){for(int i = start; i < end; i++){if(c[i] == c[end])return true;}return false;}public static LinkedList<String> legalSequence(LinkedList<String> listStr){Iterator<String> it = listStr.iterator();String currentStr;while(it.hasNext())//檢查全排列中的每個序列
        {currentStr = it.next();if(!check(currentStr))it.remove();//刪除不符合的出棧規律的序列
        }return listStr;}//檢查出棧序列 str 是否 是合法的出棧 序列private static boolean check(String str){boolean result = true;char[] c = str.toCharArray();char first;//當前數字.int k = 0;//記錄 compare 數組中的元素個數char[] compare = new char[str.length()];for(int i = 0; i < c.length; i++){first = c[i];//找出在 first 之后的，并且比 first 小的數字for(int j = i+1; j < c.length; j++){if(c[j] > first)continue;else{compare[k++] = c[j];//將比當前數字小的 所有數字 放在compare數組中
                }}if(k == 0)continue;else{for(int m = 0; m < k-1; m++)//判斷 compare 數組是否是 遞減的順序
                {if(compare[m] < compare[m+1]){result = false;//不符合遞減順序return result;}}}k=0;}return result;}//hapjin testpublic static void main(String[] args) {String str = "1234";LinkedList<String> listStr = legalSequence(allPermutation(str));print(listStr);}
}

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思路②：直接求出合法的出棧序列。【而不是像思路①那樣：先求出所有可能的出棧序列(求全排列)，然后再找出合法的出棧序列。】

待完成。

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四，參考資料

JAVA求解全排列

出棧順序（卡特蘭數）

可能的出棧順序