PS：很近之前自己收集的資料

一個正整數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。

如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，……

(一)完全平方數的性質　　

通過對這些完全平方數的觀察和分析，我們可以獲得一些規律性的認識。下面是完全平方數的一些常用性質：

性質1：完全平方數的末位數只能是0，1，4，5，6，9。　　性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。

性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。

性質4：凡個位數字是5，但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數(不包括0本身)不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

性質5：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。

性質6：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。

性質7：平方數的形式必為下列兩種之一：3k，3k+1。

性質8：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。

性質9：平方數的形式具有下列形式之一：

16m，16m+1，16m+4，16m+9。

性質10：完全平方數的各位數字之和只能是0，1，4，7，9。

性質11：?a²b為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。

性質12：如果質數p能整除a，但p²不能整除a，則a不是完全平方數。

性質13：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若n²2，?則k一定不是完全平方數。

性質14：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因子(包括1和n本身)。

性質15：完全平方數的約數個數是奇數個。約數的個數為奇數個的自然數是完全平方數。

性質16：若質數p整除完全平方數a，則p²|a。

(二)與上述性質相對應的幾個結論

1.個位數是2，3，7，8的整數一定不是完全平方數；

2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；

3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；

4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；

5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；

6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；

7.形如8n+2，?8n+3，?8n+5，?8n+6，8n+7型的整數一定不是完全平方數；

8.數字和是2，3，5，6，8的整數一定不是完全平方數。

(三)范例解析
[例1]：一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=m²................(1)
x+44=n²................(2)(m，n為自然數)
(2)-(1)可得　n²- m²=89，?(n+m)(n-m)=89
但89為質數，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

[例2]：求證：四個連續的整數的積加上1，等于一個奇數的平方。
分析：設四個連續的整數為n，(n+1)，(n+2)，(n+3)，其中n為整數。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明：設這四個整數之積加上1為m，則
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²=[n(n+1)+(2n+1)] ²
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

[例3]：求證：11，111，1111，......，111...1(n個1)這串數中沒有完全平方數。
分析：形如111...1(n個1)的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即
111...1(n個1)=(10a+1) ²　或　111...1(n個1)=(10a+9) ²
在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。
證明：若111...1(n個1)=(10a+1) ²=100a²+20a+1，則
111...10=100a²+20a，?111...1(n-1個1)=10a²+2a
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
若111...1(n個1)=(10a+9) ²，同理。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證：由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。

[例4]：從200到1800的自然數中有奇數個約數的數有多少個？
分析：有奇數個約數為完全平方數，即求從200至1800的自然數中有多少個完全平方數。
解：從200到1800的自然數中，完全平方數有152，162，……，422。共有42―15+1=28個數滿足題意。

[例5]：用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數？
解：設由300個2和若干個0組成的數為A，則其數字和為600
3︱600　∴3︱A
此數有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方數。

[例6]：試求一個四位數，它是一個完全平方數，并且它的前兩位數字相同，后兩位數字也相同。
解：設此數為aabb，則：aabb=a0b*11
此數為完全平方，則必須是11的倍數。因此11︱a + b，而a，b為0，1，2，9，故共有(2，9)，?(3，8)，?(4，7)，(9，2)等8組可能。
直接驗算，可知此數為7744=88。

[例7]：求滿足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除余數為5。
(3)它是完全平方數。
解：設22n+5=N²，其中n，N為自然數，可知N為奇數。
N²-16=11(2n-1)，?(N+4)(N-4)=11(2n-1)
11︱N?-?4或11︱N?+?4
N=(2k-1)*11+4，?N=22k-5?或?N=22k-15?(k=1，2，......)
經試數可知，此自然數為1369， 2601， 3481， 5329， 6561， 9025。

[例8]：有兩個數，它們各個數位的數字從左到右越來越大，其中一個六位數是另一個數的平方，求這兩個數。
解：由題意可知這個六位數的個位數字應大于或等于6。∵123456=3×83×643不是完全平方數，又因為完全平方數個位只能是0，1，4，5，6，9。∴這個六位數的個位只能是9。∴另一個數的個位只能是3或7，并且另一個數是大于300的三位數。∵數字從左到右越來越大，∴個位數只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，經檢驗，只有3672=134689符合。

[例9]：甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元？
解：n頭羊的總價為n²元，由題意知n²元中含有奇數個10元，即完全平方數n²的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，n^2的末位數字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。

[例10]：矩形四邊的長度都是小于10的整數(單位：公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，并且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積。
解：設矩形的邊長為x，y，則四位數
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方數，11為質數　∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11²*(9x+1)∴9x+1是一個完全平方數，驗算知x=7滿足條件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm²。

[例11]：少年宮游樂廳內懸掛著200個彩色燈泡，這些燈泡或明或暗，十分有趣。
這200個燈泡按1—200編號，它們的亮暗規則是：
第一秒，全部燈泡變亮；
第二秒，凡編號為2的倍數的燈泡由亮變暗；
第三秒，凡編號為3的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態，即亮的變暗，暗的變亮；
一般地，第n秒凡編號為n的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態。
這樣繼續下去，每4分鐘一個周期。問：第200秒時，明亮的燈泡有多少個？
分析：燈泡最終是明或暗與開關被拉的次數的奇偶性有關。最后明亮的燈泡開關應被拉過奇數次。而開關被拉動的次數等于該燈泡編號數的約數的個數，因此約數個數為奇數個的編號，燈泡亮著，即編號為完全平方數的燈泡符合題意。
解：某個燈泡，如果它的亮暗變化的次數是奇數，那么它是明亮的。根據題意可知，號碼為K的燈泡，亮暗變化的次數等于K的約數的個數，若K的約數的個數是奇數，則K一定是平方數。所以200秒時，那些編號是平方數的燈泡是明亮的。因為200以內有14個平方數，所以200秒時明亮的燈泡有14個。

[例12]：“1993與一個三位數的和”是一個完全平方數，這樣的三位數有多少個？
解：設滿足題目需求的平方數為χ，則由
452<1993+100<462，
542<1993+999<552，可知
452<1993+100≤χ≤1993+999<552
其中共有462，472，……，542這9個完全平方數。
∴共有9個三位數符合要求。

(四)練習題
1．把1—50這50個數的平方數從小到大排成一個多位數149162536……，請問這個多位數共有(??????)位數字。

2．46305乘以一個自然數a，積是一個完全平方數，則最小的a是??????? 。

3．祖孫三人，孫子和爺爺的年齡之積是1512，而爺爺，父親，孫子三人的年齡之積是完全平方數，父親的年齡是??????? 。

4．把一個兩位數的個位與十位數字交換后得到一個新數，它與原來的數字加起來恰好是某個自然數的平方，這個和數是??????? 。

5．已知n/2是完全平方數，n/3是立方數，則n的最小值為??????? 。

6．已知一個自然數的平方的十位數是8，這個完全平方數的個位數字??? ?。

7．如n減58是完全平方數，n加31也是完全平方數，則n是??????? 。

8．從1986，1989，1992，1995，1998這五個數中挑出不能寫成兩個自然數的平方差的數是??????? 。

9．用240個5和若干個0組成的數，是否為完全平方數？

10．是否存在自然數a，b使得2ab11*7是完全平方數？

11．一所小學開運動會，全體學生在操場上排隊，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后來體育老師調整了隊形，正好排成每行人數和行數相等的隊形，問這所小學共有學生多少人？

12．小東和小明一起到果園去栽樹，準備好的樹苗正好可以把這些果樹栽成每行每列相同棵數的方陣，每人栽好8棵就休息一次，當他們把300多棵樹苗都栽好時，每人休息的次數相同，但最后一次小明栽的樹不到8棵。問他們共栽了多少樹？

13．小亮邀請小強一起玩彈子游戲，小亮拿出一盒彈子(不滿100個)，彈子的數量是一個完全平方數。他們每人10個、10個的輪流取出，但到最后一輪，小強只拿到6個。為了平均分配，小亮給了小強2個，這樣兩人拿到的彈子就一樣多了。問這盒彈子共有多少個？

14．兩個正整數的和比積小1997，并且其中一個是完全平方數，求較大數與較小數的差。

15．設p，m，n為一組勾股數，其中p為奇質數，且n>p， n>m。求證：2n-1必為完全平方數。

16．設平方數y²是11個相繼整數的平方和，求y的最小值。

17．求自然數n，使S_n=9+17+25+……+(8n+1)=4n²+5n為完全平方數。

18．是否存在一個2000位的整數，它是某整數的平方，且在十進制中至少有1999個數字是5？

19．是否存在兩個正整數a，b，使得(a²+2b)與(b²+2a)同為完全平方數？

20．若a，b為整數，求證：[a⁴+b⁴+(a+b)⁴]/2是完全平方數。

21．求k的最大值，使得3⁷可以表示為k個連續正整數之和。

22．若a，b為整數，且24a²+1=b²。求證：a，b中有且僅有一個是5的倍數。

23．求證：若a是完全平方數，則a的正約數的個數一定是奇數；反之，若自然數a的正約數的個數為奇數，則a是完全平方數。

24．求出滿足下列條件的所有三位數：這個三位數的平方的末三位數就是原來的三位數。

25．若d為自然數，求證：2d-1，5d-1，13d-1不可能都是完全平方數。

26．加上400后就可以成為完全平方數的四位數有幾個？

27．四個連續正整數的倒數和為19/20，則這四個整數的平方和是? ??。

28．求證：對任意正整數k，2k-1和2k+1兩數中至少有一個不能等于兩整數的平方和。

29．若a，b是相鄰兩個自然數，c=a*b，求證：a²+b²+c²是某個奇數的平方。

30．使得m²+m+7是完全平方數的所有整數m的積是多少？

31．設正整數a，b，c，d滿足a²+6²=b²，?d²+10²=c²，求c²+d²-a²-b²的值。

32．使2⁸+2¹¹+2ⁿ為完全平方數的n的值。

33．若A1，A2，A3，……，Ak是n的全部正約數，求證n^k是完全平方數。

34．設正整數d不等于2，5，13，求證在集合{2，5，13，d}中可以找到兩個不同的元素a，b，使得ab-1不是完全平方數。

35．求一個三位數，使它等于一個自然數n的平方，且各位數字之積等于n-1。

36．接連寫出偶數個1形成的數A，再寫出一半那么多個的4形成的數B。試證：A+B+1是完全平方數。

37．若某整數為完全平方數，且末四位數字相同，求這種整數。

38．求使得2^m+3ⁿ為完全平方數的所有正整數m和n。

39．求一個最大的完全平方數，在劃掉它的最后兩位數后，仍得到一個完全平方數(假定劃掉的兩個數字中有一個非零)。

40．設有四個整數2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。證明：在四個數中存在兩個數a，b使得a*b-1不是完全平方數。

41．若x，y為正整數，使得x²+y²-x能被2xy整除。求證：x為完全平方數。

42．證明：7111…12888…89是一個完全平方數(1和8均為n-1個)。

43．已知直角三角形的兩直角邊長分別為p，m，斜邊長為n，且p，m，n均為正整數，l為質數。求證：2(p+m+1)是完全平方數。

44。有這樣一個數組，由K個互不相同的自然數(不含0)組成，其中任一兩個數之和都是完全平方數，稱之為平方數組。當K=3時，求使這三個數之和為最小的一個平方數組。當K=4，5時又如何？

45．自然數N是完全平方數。N不是10的倍數，但把N最后兩位數字擦去，剩下的剛巧還是完全平方數(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1還是完全平方數)。問N最大是多少?

46．設1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整數，且三個數的最大公因數是1，求證：
a+b是一個完全平方數

47.下列哪一個數一定不是某個自然數的平方(其中n為自然數)

(A)3n²-3n+3．(B) 4n²+4n+4．(C)5n²-5n-5．(D)7n²-7n+7．(E)11n²+11n-11．

48．求證：四個連續的自然數的乘積不能表示成整數平方的形式.

49．求證：五個連續的自然數的乘積不能表示成整數平方的形式.

50. 求證：對于任意自然數n，n⁴+2n³+2n²+2n+1不是完全平方數.

51．假設n是自然數，d是2n²的正約數，求證：n²+d不是完全平方數

52.?若x和y都是自然數，試證：x²+y+1和y²+4x+3的值不能同時都是完全平方數．

53. 是否存在自然數x和y，使得x²+y和y²+x都是完全平方數？

54. 使得n²-19n+91為完全平方數的自然數n有多少個？