最終目標是解微分方程。第一章首先介紹了一般意義下的傅里葉變換，之后逐漸將傅里葉變換的概念抽象化，將變換的定義域進行拓展。最后少量介紹傅里葉變換在偏微分方程中的應用。習題解答是自己寫的，有的不會，有的不知道對不對。
傅里葉變換是解偏微分方程的有力工具，因為它就像拉普拉斯變換一樣，可以將微分方程轉變為代數方程。通常的傅里葉變換由
然而，逼近的思想同時面臨著兩個問題，其一是收斂函數列的傅里葉變換不一定收斂，這就導致類似于
這個問題最終的解決辦法，是將一部分性質極其好的函數作為測試函數，之后用傅里葉變換與內積所滿足的性質反向地公理化定義傅里葉變換，并篩選出可以進行傅里葉變換的函數。這個函數空間叫作廣義緩增函數空間，而測試函數所構成的空間叫作急降函數空間。廣義緩增函數空間包含了所有在無窮遠處以多項式速度增長的函數，而且甚至還包含了一些一般意義上根本不是函數的“函數”。狄拉克
第一節，
定義1.1，對于
定理1.1，設
1，
2，
3，
4，記
5，
6，記
7，設
8，
命題1.1，記
定義1.2，設
定理1.2，設
命題1.2，設
進一步，如果
如果
第二節，
假定
定理1.3，設
因此，傅里葉變換在
定理1.4，傅里葉變換是
定理1.5，對于
第三節，緩增廣義函數
對于
記
定義1.3，設
定理1.6，傅里葉變換是
定義1.4，稱
1，
2， 如果
記所有緩增廣義函數的集合為
對于任意有界函數
定義1.5，對于
定義1.6，設
定理1.7，傅里葉變換是
定義1.7，設
此時有
命題1.3，對于
證明、例題
例1.1，對于
不失一般性令
因此
例1.2，計算
對于
因此，
命題1.2證明：
設
如果
定理1.3證明
設
由于
所以
因此，根據定理1.2，
同時，
例1.3，計算
雖然
例1.4，設
其中
例1.5，計算
因此，
習題1.1
(i)
(ii)
已知
因此
習題1.2
(i)證明在
當
因此即使
習題1.3
證明Young不等式：令
因此
習題1.4
證明Minkowski不等式：
用
習題1.5，令
(i)證明哈代不等式：
令
(ii)證明等號成立且僅成立于
不會
習題1.6，視傅里葉變換為
(i)證明其是單射
根據命題1.2作逆變換直接得到結論
(ii)證明傅里葉變換的像對乘法封閉
根據傅里葉變換對卷積的性質直接得到結論
(iii)證明
一維的時候，
高維的時候，令
習題1.7
(i)證明定理1.1中公式的一般化：如果
(ii)對于
對于前者，只需證明
由于
由于
綜上連續性得證
對于后者，
因此，可以取到足夠大的
(iii)設
根據命題1.2，
因為
Felipe Linares, Gustavo Ponce (auth.) - Introduction to Nonlinear Dispersive Equations (2015, Springer-Verlag New York)
)
