主要介紹MP(Matching Pursuits)算法和OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法[1]，這兩個算法雖然在90年代初就提出來了，但作為經典的算法，國內文獻(可能有我沒有搜索到)都僅描述了算法步驟和簡單的應用，并未對其進行詳盡的分析，國外的文獻還是分析的很透徹，所以我結合自己的理解，來分析一下寫到博客里，算作筆記。

1. 信號的稀疏表示(sparse representation of signals)

給定一個過完備字典矩陣，其中它的每列表示一種原型信號的原子。給定一個信號y，它可以被表示成這些原子的稀疏線性組合。信號 y 可以被表達為 y = Dx ，或者。 字典矩陣中所謂過完備性，指的是原子的個數遠遠大于信號y的長度(其長度很顯然是n)，即n<<k。

2.MP算法(匹配追蹤算法)

2.1 算法描述

作為對信號進行稀疏分解的方法之一，將信號在完備字典庫上進行分解。

假定被表示的信號為y，其長度為n。假定H表示Hilbert空間，在這個空間H里，由一組向量構成字典矩陣D，其中每個向量可以稱為原子(atom)，其長度與被表示信號 y 的長度n相同，而且這些向量已作為歸一化處理，即|，也就是單位向量長度為1。MP算法的基本思想：從字典矩陣D（也稱為過完備原子庫中），選擇一個與信號 y 最匹配的原子(也就是某列)，構建一個稀疏逼近，并求出信號殘差，然后繼續選擇與信號殘差最匹配的原子，反復迭代，信號y可以由這些原子來線性和，再加上最后的殘差值來表示。很顯然，如果殘差值在可以忽略的范圍內，則信號y就是這些原子的線性組合。如果選擇與信號y最匹配的原子？如何構建稀疏逼近并求殘差？如何進行迭代？我們來詳細介紹使用MP進行信號分解的步驟：[1] 計算信號 y 與字典矩陣中每列(原子)的內積，選擇絕對值最大的一個原子，它就是與信號 y 在本次迭代運算中最匹配的。用專業術語來描述：令信號，從字典矩陣中選擇一個最為匹配的原子，滿足，r0 表示一個字典矩陣的列索引。這樣，信號 y 就被分解為在最匹配原子的垂直投影分量和殘值兩部分，即：。[2]對殘值R1f進行步驟[1]同樣的分解，那么第K步可以得到：

，?其中?滿足。可見，經過K步分解后，信號 y 被分解為：，其中。

2.2 繼續討論

(1)為什么要假定在Hilbert空間中？Hilbert空間就是定義了完備的內積空。很顯然，MP中的計算使用向量的內積運算，所以在在Hilbert空間中進行信號分解理所當然了。什么是完備的內積空間？篇幅有限就請自己搜索一下吧。

(2)為什么原子要事先被歸一化處理了，即上面的描述。內積常用于計算一個矢量在一個方向上的投影長度，這時方向的矢量必須是單位矢量。MP中選擇最匹配的原子是，是選擇內積最大的一個，也就是信號(或是殘值)在原子(單位的)垂直投影長度最長的一個，比如第一次分解過程中，投影長度就是。，三個向量，構成一個三角形，且和正交（不能說垂直，但是可以想象二維空間這兩個矢量是垂直的）。

(3)MP算法是收斂的，因為，和正交，由這兩個可以得出，得出每一個殘值比上一次的小，故而收斂。

2.3 MP算法的缺點

如上所述，如果信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的，這會使得每次迭代的結果并不少最優的而是次最優的，收斂需要很多次迭代。舉個例子說明一下：在二維空間上，有一個信號 y 被 D=[x1, x2]來表達，MP算法迭代會發現總是在x1和x2上反復迭代，即，這個就是信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影的非正交性導致的。再用嚴謹的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空間H中，，，定義，就是它是這些向量的張成中的一個，MP構造一種表達形式：;這里的Pvf表示 f在V上的一個正交投影操作，那么MP算法的第 k 次迭代的結果可以表示如下(前面描述時信號為y，這里變成f了，請注意)：

如果 ?是最優的k項近似值，當且僅當。由于MP僅能保證，所以一般情況下是次優的。這是什么意思呢？是k個項的線性表示，這個組合的值作為近似值，只有在第k個殘差和正交，才是最優的。如果第k個殘值與正交，意味這個殘值與fk的任意一項都線性無關，那么第k個殘值在后面的分解過程中，不可能出現fk中已經出現的項，這才是最優的。而一般情況下，不能滿足這個條件，MP一般只能滿足第k個殘差和xk正交，這也就是前面為什么提到“信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的”的原因。如果第k個殘差和fk不正交，那么后面的迭代還會出現fk中已經出現的項，很顯然fk就不是最優的，這也就是為什么說MP收斂就需要更多次迭代的原因。不是說MP一定得到不到最優解，而且其前面描述的特性導致一般得到不到最優解而是次優解。那么，有沒有辦法讓第k個殘差與正交，方法是有的，這就是下面要談到的OMP算法。

3.OMP算法

3.1 算法描述

OMP算法的改進之處在于：在分解的每一步對所選擇的全部原子進行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP算法的收斂速度更快。

那么在每一步中如何對所選擇的全部原子進行正交化處理呢？在正式描述OMP算法前，先看一點基礎思想。

先看一個 k ?階模型，表示信號 f 經過 k 步分解后的情況，似乎很眼熟，但要注意它與MP算法不同之處，它的殘值與前面每個分量正交，這就是為什么這個算法多了一個正交的原因，MP中僅與最近選出的的那一項正交。

(1)

?k + 1 階模型如下：

(2)

應用 k + 1階模型減去k 階模型，得到如下：

(3)

我們知道，字典矩陣D的原子是非正交的，引入一個輔助模型，它是表示對前k個項的依賴，描述如下：

(4)

和前面描述類似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的項是殘值。這個關系用數學符號描述：

請注意，這里的 a 和 b 的上標表示第 k 步時的取值。

將(4)帶入(3)中，有：

（5）

如果一下兩個式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很簡單，通過對(7)左右兩邊添加作內積消減得到：

后邊的第二項因為它們正交，所以為0，所以可以得出ak的第一部分。對于，在（4）左右兩邊中與作內積，可以得到ak的第二部分。

對于(4)，可以求出，求的步驟請參見參考文件的計算細節部分。為什么這里不提，因為后面會介紹更簡單的方法來計算。

3.2 收斂性證明

通過(7)，由于與正交，將兩個殘值移到右邊后求二范的平方，并將ak的值代入可以得到：

可見每一次殘差比上一次殘差小，可見是收斂的。

3.3 算法步驟

整個OMP算法的步驟如下：

由于有了上面的來龍去脈，這個算法就相當好理解了。

到這里還不算完，后來OMP的迭代運算用另外一種方法可以計算得知，有位同學的論文[2]描述就非常好，我就直接引用進來：

對比中英文描述，本質都是一樣，只是有細微的差別。這里順便貼出網一哥們寫的OMP算法的代碼，源出處不得而知，共享給大家。

再貼另外一個洋牛paper[3]中關于OMP的描述，之所以引入，是因為它描述的非常嚴謹，但是也有點苦澀難懂，不過有了上面的基礎，就容易多了。

它的描述中的Sweep步驟就是尋找與當前殘差最大的內積時列在字典矩陣D中的索引，它的這個步驟描述說明為什么要選擇內積最大的以及如何選擇。見下圖，說的非常清晰。

它的算法步驟Update Provisional Solution中求很簡單，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二范就是A的偽逆與b相乘，即：

看上去頭疼，其實用matlab非常簡單，看看上面的matlab的代碼就明白了。

我們可以看得出來，算法流程清晰明了，還是很好理解的。這正是OMP算法的魅力，作為工具使用簡單，背后卻隱藏著很有趣的思想。

寫這篇博客的目的，是因為搜索了一下，MP和OMP沒有人很詳細的介紹。文獻[1]講的很清楚的，大家有興趣可以找來看看。不要被老板發現我居然在搜中文文獻還寫中文博客。

參考文獻：

[1]?Orthogonal Matching Pursuit:Recursive Function Approximat ion with Applications to Wavelet Decomposition
[2]http://wenku.baidu.com/view/22f3171614791711cc7917e4.html

[3]?From Sparse Solutions of Systems of Equations to Sparse Modeling of Signals and Images