博弈論的算法總結

　　開頭先啰嗦一句：想學好博弈，必然要花費很多的時間，深入學習，不要存在一知半解，應該是一看到題目，就想到博弈的類型。

以及，想不斷重復不斷重復，做大量各大oj網站的題目，最后吃透它。

博弈：

　　博弈論又被稱為對策論（Game Theory），既是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。

博弈，具體的例子就是下棋，雙方都考慮最有利于自已的步驟，但是最終必有一方輸，一方贏。

　　博弈的策略：參與者在行動之前所準備好的一套完整的行動方案，就是想好下完這步棋，對方會如何下，

以及接下來該如何下，最終得出結果。

常見的博弈有以下：

1.博弈：合作博弈和非合作博弈
?? 合作博弈：指參與者能夠達成一種具有約束力的協議，在協議范圍內選擇有利于雙方的策略
?? 非合作博弈：指參與者無法達成這樣一種協議
2.博弈：靜態博弈和動態博弈
?? 靜態博弈：指在博弈中，參與者同時選擇，或雖非同時選擇，但是在邏輯時間
?????????????????? 上是同時的。（期末老師評分與同學給老師評分）
?? 動態博弈：指在博弈中，參與者的行動有先后順序，且后行動者能夠觀察
?????????????????? 到先行動者的行動。（下棋）
3.博弈：完全信息博弈與不完全信息博弈
?? 完全信息博弈：指在博弈中，每個參與者對其他參與者的類型，策略空間及損益函數都有準確的信息。（賣家與買家）
?? 不完全信息博弈:總有一些信息不是所有參與者都知道的
4.博弈：零和博弈與非零和博弈
?? 零和博弈：指博弈前的損益總和與博弈后的損益總和相等
?? 非零和博弈：指博弈后的損益大于（小于）博弈前的損益總和（正和或負和 ）

下面我主要講一些關于算法比賽中用到的博弈類型：

首先你要理解必勝狀態和必敗狀態：

　　對下先手來說，

　　一個狀態是必敗狀態當且僅當它的所有后繼都是必敗狀態。

　　一個狀態是必勝狀態當且僅當它至少有一個后繼是必敗狀態。

　　就是說，博弈者，一旦捉住了勝利的把柄，必然最后勝利。

博弈中常常用到的：

　　兩個數，不用中間變量實現交換。
　　a b;
　　a = a^b;
　　b = a^b;
　　a = a^b;

巴什博弈：

百度百科：

　　巴什博弈：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物， 規定每次至少取一個，最多取m個。最后取光者得勝。

　　顯然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，后取者都能夠一次拿走剩余的物品，后者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那么先取者要拿走s個物品，如果后取者拿走k（≤m)個，那么先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最后獲勝。這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。對于巴什博弈，那么我們規定，如果最后取光者輸，那么又會如何呢？（n-1）%（m+1）==0則后手勝利

先手會重新決定策略，所以不是簡單的相反行的
例如n=15，m=3
后手 先手 剩余
0 2 13
1 3 9
2 2 5
3 1 1
1 0 0
先手勝利 輸的人最后必定只抓走一個，如果>1個，則必定會留一個給對手

請去刷下面的題目，均是巴什博弈

???? 算博弈題目時，一定要算到一個周期結束，防止出錯，很有可能像HDU2897那樣。中途錯的猝不及防 ? ?

HDU1847?
代碼實現如下：
package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int n = cin.nextInt();PLG(n);}}static void PLG(int n){if(n%3 == 0){System.out.println("Cici");}else{System.out.println("Kiki");}}
}

?

HDU2147
代碼實現如下：
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int n = cin.nextInt();int m = cin.nextInt();if(n == 0 && m == 0){return;}PLG(n,m);}}static void PLG(int n,int m){if(n%2 == 0 || m % 2 == 0){System.out.println("Wonderful!");}else{System.out.println("What a pity!");}}
}

?

HDU2149?
代碼實現如下：
package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int m = cin.nextInt();int n = cin.nextInt();PLG(m,n);}}static void PLG(int m,int n){if(m % (n+1) == 0){System.out.println("none");}else{if(m <= n){for(int i = m; i <= n; i++){if(i!= m){System.out.print(" ");}System.out.print(i);}System.out.println();}else{int flag = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){if((m-i)%(n+1) == 0){if(flag == 0){System.out.print(i);}else{System.out.print(" " + i);}flag++;}}System.out.println();}}}
}

?

HDU2188
代碼實現如下：
package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);int C = cin.nextInt();while(C != 0){int n = cin.nextInt();int m = cin.nextInt();PLG(n,m);C--;}}static void PLG(int n,int m){if(n <= m){System.out.println("Grass");}else{if(n % (m+1) == 0){System.out.println("Rabbit");}else{System.out.println("Grass");}}}
}
HDU2897
代碼實現如下：
package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int n = cin.nextInt();int p = cin.nextInt();int q = cin.nextInt();PLG(n,p,q);}}static void PLG(int n,int p,int q){if(n < p+q){if(n <= p){System.out.println("LOST");}else{System.out.println("WIN");}}else if(n%(p+q) == 0){System.out.println("WIN");}else//有坑
        {if(n % (p+q) > p)System.out.println("WIN");elseSystem.out.println("LOST");}}
}

?

威佐夫博弈：

　　一定要去百度百科上面，先理解透意思。

　　下面是一些威佐夫博弈的總結：

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取至少一個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
這種情況下是頗為復雜的。我們用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示兩堆物品的數量并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那么甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。
前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇異局勢的序號， 第一個奇異局勢k=0。
可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出現過的最小自然數,而 b[k]= a[k] + k。
重要結論：（a,b）b>= a的，如果（int)（b-a）*(Math.sqrt(5)+1)/2 == a,那么先手必輸。
如果不等，后者必輸。

設當前局勢為(a,b）； a <= b
①a==b：同時從兩堆取走a個石子，轉化為(0,0)
②a==a[k]&&b>b[k]：從第二堆取走b?b[k]個石子，轉化為(a,b[k])
③a==a[k]&&b<b[k]：同時從兩堆取走a?a[b?a]個石子，轉化為(a[b?a],b?a+a[b?a])
④a>a[k]&&b==b[k]：從第一堆取走a?a[k]個石子，轉化為(a[k],b)
⑤a<a[k]&&b==b[k]：若a==a[j] (j<k)，則從第二堆取走b?b[j]個石子，轉化為(a,b[j])；

　　否則必有a==b[j](j<k)a==b[j](j<k)，則從第二堆取走b?a[j]b?a[j]個石子，轉化為(a[j],a)

　　例如5 ?8 ，5>a(8-5)=a3=4 ?8>b(8-5)=b3=7 從兩堆中取走a-a(b-a)=5-4=1個，變成奇異局勢(4,7)。

　　例如4 6 ，4>a(6-4)=a2=3 ?6>b(6-4)=b2=5 從兩堆中取走a-a(b-a)=4-3=1個，變成奇異局勢(3,5)。

　　可以理解成變成差為b-a的奇異局勢。

如果a=bk并且b-a!=k，則從b堆中取走b-ak個，變成奇異局勢(ak，bk).

　　例如，5 10 ，5=b2 10-5=5!=2 則從10中取走10-a2=10-3=7個，變成奇異局勢(3,5)。

為什么要b-a!=k呢？例如7 10 ， 7=a3，10-7=3=k 也可以變成奇異局勢(4,7)。但這已經在4）判斷過了。

奇異局勢就是當你面臨這種情況的時候，你必然是輸的，反之，你必贏。
（a,b）,a,b兩堆物品的重量，此處是b>a;
解題的技巧：
if a > b , 交換兩個值。
c = b-a;
c = （int）(c*(（根號5）+1)/2）
if(c == b)? 先手必輸
else 先手必贏
題目：HDU1527?HDU2177特別要注意HDU2177這道題目。
HDU1527的代碼實現如下：
package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{static final double mid = (Math.sqrt(5)+1)/2;public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int a = cin.nextInt();int b = cin.nextInt();int MAX = Math.max(a, b);int MIN = Math.min(a, b);int temp = (int) ((MAX-MIN)*mid);if(temp == MIN){System.out.println("0");}else{System.out.println("1");}}}
}

HDU2177的代碼實現如下：巧妙暴力，分情況太麻煩了。

package Combat.com;

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main
{
?? ?static final double MID = (Math.sqrt(5)+1)/2;
?? ?public static void main(String []args)
?? ?{
?? ??? ?Scanner cin = new Scanner(System.in);
?? ??? ?while(cin.hasNext())
?? ??? ?{
?? ??? ??? ?int a = cin.nextInt();
?? ??? ??? ?int b = cin.nextInt();
?? ??? ??? ?if(a == 0 && b == 0)
?? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ?return;
?? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?WTFGame(a,b);
?? ??? ?}
?? ?}
?? ?static void WTFGame(int a,int b)
?? ?{
?? ??? ?int temp = (int) ((b-a)*MID);
?? ??? ?if(temp == a)
?? ??? ?{
?? ??? ??? ?System.out.println("0");
?? ??? ?}
?? ??? ?else
?? ??? ?{
?? ??? ??? ?System.out.println("1");
?? ??? ??? ?for(int i = 1; i <= a; i++)//先取同樣石子
?? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ?int n = a-i;
?? ??? ??? ??? ?int m = b-i;
?? ??? ??? ??? ?temp = (int) ((m-n)*MID);
?? ??? ??? ??? ?if(temp == n)
?? ??? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ??? ?System.out.println(n + " " + m);
?? ??? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?for(int i = a-1; i >=0; i--)//從最小堆單取；
?? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ?temp = (int) ((b-i)*MID);
?? ??? ??? ??? ?if(temp > i)//因為a越小，temp就越大，永遠不可能等。
?? ??? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ??? ?break;
?? ??? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?for(int i = b-1; i >= 0; i--)//從最大堆單取
?? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ?int n = a;
?? ??? ??? ??? ?int m = i;
?? ??? ??? ??? ?if(n > m)
?? ??? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ??? ?int t = a;
?? ??? ??? ??? ??? ?n = m;
?? ??? ??? ??? ??? ?m = t;
?? ??? ??? ??? ??? ?temp = (int)((m-n)*MID);
?? ??? ??? ??? ??? ?if(temp > n)//這里充當優先，當條件滿足，無需進行下去了。
?? ??? ??? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ??? ??? ?break;
?? ??? ??? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ??? ?temp = (int) ((m-n)*MID);
?? ??? ??? ??? ?if(temp == n)
?? ??? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ??? ?System.out.println(n + " " + m);
?? ??? ??? ??? ?}
?? ??? ??? ?}
?? ??? ?}
?? ?}
}

?

尼姆博弈（Nimm Game）：

尼姆博弈指的是這樣一個博弈游戲： ?有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件， ?取到最后一件物品的人獲勝。

百度百科：

有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進制有密切關系，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是　　（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最后都將導致（0，0，0）。仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論自己如何拿，接下來對手都可以將其變為（0，n，n）　　的情形。
計算機算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號⊕表示這種運算，先看（1，2，3）的按位模2加的結果：
1 =二進制01
2 =二進制10
3 =二進制11 ⊕
———————
0 =二進制00 （注意不進位）
對于奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a⊕b⊕c =0。
注意到異或運算的交換律和結合律，及a⊕a=0，:
a⊕b⊕(a⊕b)=(a⊕a)⊕(b⊕b)=0⊕0=0。
所以從一個非奇異局勢向一個奇異局勢轉換的方式可以是：
1）使 a = c⊕b
2）使 b = a⊕c
3）使 c = a⊕b

結論就是：把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值為0，那么先手必敗，否則先手必勝。

HDU2176

代碼實現如下;

package Combat.com;import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main
{static final int MAX = 200005;static int array[] = new int[MAX];public static void main(String []args){Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int m = cin.nextInt();if(m == 0){return;}int sum = 0;//異或的結果for(int i = 0; i < m; i++){array[i] = cin.nextInt();sum = sum^array[i];}NIMGame(sum,m);}}static void NIMGame(int sum,int k){if(sum == 0)//代表面臨奇異情況，必輸
        {System.out.println("No");return;}else{System.out.println("Yes");for(int i = 0; i < k; i++)//勝的第一次取法，
            {int s = sum^array[i];//結果s相當于,sum沒與array[i]異或。if(s < array[i]){System.out.println(array[i] + " " + s);}}}}
}

HDU1850? 也是一道尼姆博弈題目，解法和上面相同。

HDU1907也是同樣的做法

?

?階梯博弈：

具體意思，參照下面網址：https://www.cnblogs.com/jiangjing/p/3849284.html

　　

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/674001396long/p/9901811.html

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