變換$T$作用于隨機變量$X$，產生隨機變量$Y$.
$$T:X?>Y或者寫為y=T(x)$$

如果$X與Y$之間的關系是單調的，并且存在逆映射：
$$T^{?1}:Y?>X或者寫為x=T^{?1}(y)$$

利用X的概率密度$f_X(x)$求Y的概率密度$f_Y(y)$
$$P_Y(y)=P[Y\le y]=P[T(X)\le y]=P[X\le T^{?1}(y)]={\int }_{?\infty }^{T^{?1}(y)}{f}_X(x)dx$$

上式兩邊對$y$求導(變上限函數求導+復合函數求導)：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{d{T}^{?1}(y)}{dy}$$

因為$x=T^{?1}(y)$，所以上式可以改寫為：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{dx}{dy}$$

又因為$y=T(x)$對$x$求導：$\frac{dy}{dx}=T(x{)}^{\prime }$，所以反函數的導數：$(T^{?1}{)}^{\prime }=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$

綜上：
$$f_Y(y)=\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$$