NOI 2016 優秀的拆分 (后綴數組+差分)

題目大意：給你一個字符串，求所有子串的所有優秀拆分總和，優秀的拆分被定義為一個字符串可以被拆分成4個子串，形如$AABB$，其中$AA$相同，$BB$相同，$AB$也可以相同

作為一道國賽題，95分竟然就這么給我們了！只是一個$NOIP$難度的哈希套$DP$啊......

95分就是從后往前找，統計$AA$串，每次統計一下從這個位置開始的所有子串 和 緊隨其后的等長串 相同的個數$sum$

$hash(i,i+j-1)==hash(i+j,i+2*j-1) sum[i]++$

然后再統計$BB$串，就是加上在這兩個串之后的位置的$sum$值，這樣就統計出了合法拆分數

$dp[i]+=sum[i+2*j]$

95分就這樣到手啦，竟然連自然溢出hash都不卡

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define ull unsigned long long 
#define N 2050
#define seed 233
#define idx(x) (x-'a'+1)
using namespace std;
//re
int T,len;
char str[N];
int dp[N],sum[N];
ull hsh[N],sp[N];
ull ghsh(int x,int y) {return hsh[y]-hsh[x-1]*sp[y-x+1];}
void clr()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sp,0,sizeof(sp));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(hsh,0,sizeof(hsh));
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        clr();
        scanf("%s",str+1);
        len=strlen(str+1);
        sp[0]=1;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            hsh[i]=hsh[i-1]*seed+idx(str[i]),
            sp[i]=sp[i-1]*seed;
        for(int i=len-1;i>=1;i--)
        {
            for(int j=1;i+2*j-1<=len;j++)
            {
                if(ghsh(i,i+j-1)==ghsh(i+j,i+2*j-1)){
                    dp[i]++;
                    sum[i]+=dp[i+2*j];
                }
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            ans+=sum[i];
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

接下來才是本題的重點！$NOI$豈是你想$AK$就$AK$的！出題人可能是想針對某位巨佬

不看題解這個正解思路真是很難想到......

思路大概是這樣的，其實我們每次只需要統計$AA$串的數量就行了，因為$AABB$串的數量等于，在$i-1$位結束的$AA$串的數量乘以在第$i$位開始的$AA$串的數量，用公式表示就是

接下來就是統計$st$和$ed$了，感覺正解的思路很神

先用后綴數組+$ST$表處理出任意兩個位置，作為后綴串開頭的$LCP$以及作為前綴串末尾的$LCS$，求$LCS$可以把串反著讀再去套$SA$

每次選取一個$A$串的長度$len$，再在原串每隔$len$的位置設一個關鍵點

然后會發現一個神奇的性質，任意一個長度為$2*len$的串必然經過且僅經過2個關鍵點！

接下來統計經過所有長度為$2*len$所有$AA$串，比如選定兩個關鍵點$a,b$，且$a+len=b$

如果把$a$的和b$相同的前綴和后綴拼在一起，且拼完之后長度>=len，說明存在至少一個$AA$串

可以把$AA$串想象成一個塊，在兩個關鍵點上移動，塊的左端點不能大于$a$，塊的右端點不能小于$b$，塊不能移動到上一個或者下一個關鍵點的位置，塊內必須是$AA$串，這樣，塊所有能移動的位置-塊的長度$len$，就是經過$ab$兩個關鍵點的所有$AA$串數

時間變成，$logn$是調和級數的近似值

細節比較多需要仔細思考

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define N 30100
#define seed 233
#define idx(x) (x-'a'+1)
using namespace std;
//re
int T,len;
int lg[N];
ll st[N],ed[N],S[N],E[N];
struct suffix{
    char str[N];
    int sa[N],tr[N],rk[N],hs[N],h[N],f[N][15],len; 
    bool check(int k,int x,int y){
        if(x+k>len||y+k>len) return 0;
        else return (rk[x]==rk[y]&&rk[x+k]==rk[y+k])?1:0;
    }
    void get_suffix()
    {
        int cnt=0,i;len=strlen(str+1);
        for(i=1;i<=len;i++) hs[str[i]]++;
        for(i=1;i<=127;i++) if(hs[i]) tr[i]=++cnt;
        for(i=1;i<=127;i++) hs[i]+=hs[i-1];
        for(i=1;i<=len;i++) rk[i]=tr[str[i]],sa[hs[str[i]]--]=i;
        for(int k=1;cnt<len;k<<=1)
        {
            for(i=1;i<=cnt;i++) hs[i]=0;
            for(i=1;i<=len;i++) hs[rk[i]]++;
            for(i=1;i<=cnt;i++) hs[i]+=hs[i-1];
            for(i=len;i>=1;i--) if(sa[i]>k) tr[sa[i]-k]=hs[rk[sa[i]-k]]--;
            for(i=1;i<=k;i++) tr[len-i+1]=hs[rk[len-i+1]]--;
            for(i=1;i<=len;i++) sa[tr[i]]=i;
            for(i=1,cnt=0;i<=len;i++) tr[sa[i]]=check(k,sa[i],sa[i-1])?cnt:++cnt;
            for(i=1;i<=len;i++) rk[i]=tr[i];
        }
        for(i=1;i<=len;i++)
        {
            if(rk[i]==1) continue;
            for(int j=max(1,h[rk[i-1]]-1);;j++)
                if(str[i+j-1]==str[sa[rk[i]-1]+j-1]) h[rk[i]]=j;
                else break;
        }
    }
    void get_ST()
    {
        for(int i=1;i<=len;i++) 
            f[i][0]=h[i];
        for(int k=1;(1<<k)<=len;k++)
            for(int i=1;i+(1<<k)-1<=len;i++)
                f[i][k]=min(f[i][k-1],f[i+(1<<(k-1))][k-1]);
    }
    int query(int x,int y)
        {int L=y-x+1;
        return min(f[x][lg[L]],f[y-(1<<lg[L])+1][lg[L]]);}
}p,s;
void clr()
{
    memset(S,0,sizeof(S)),memset(st,0,sizeof(st));
    memset(E,0,sizeof(E)),memset(ed,0,sizeof(ed));
    memset(&p,0,sizeof(p)),memset(&s,0,sizeof(s));
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=2;i<=30010;i++)
        lg[i]=lg[i>>1]+1;
    while(T--)
    {
        clr();
        scanf("%s",s.str+1);
        int len=strlen(s.str+1);
        for(int i=1;i<=len;i++) 
            p.str[i]=s.str[len-i+1];
        s.get_suffix();
        s.get_ST();
        p.get_suffix();
        p.get_ST();
        int sx,sy,px,py,ss,sp,l,r;
        for(int i=1;i<=len;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<=len;j+=i)
            {
                sx=s.rk[j-i+1],sy=s.rk[j+1];
                if(sx>sy) swap(sx,sy);
                px=p.rk[len-(j-i)+1],py=p.rk[len-j+1];
                if(px>py) swap(px,py);
                ss=s.query(sx+1,sy);
                sp=p.query(px+1,py);
                if(ss+sp<i||sp==0) continue;
                l=max(j-i-i+1,j-i-sp+1);
                r=min(j+i-1,j+ss);
                S[l]++,S[r-2*i+2]--;
                E[l+2*i-1]++,E[r+1]--;
            }
        }
        for(int i=1;i<=len;i++)
            st[i]=st[i-1]+S[i],ed[i]=ed[i-1]+E[i];
        ll ans=0;
        for(int i=2;i<=len;i++)
            ans+=ed[i-1]*st[i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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